Supplémentaire d’un sous-espace vectoriel

Définition intuitive

Soit $E$ un espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Un supplémentaire de $F$ dans $E$ est un autre sous-espace vectoriel $G$ qui vient compléter $F$ pour engendrer tout $E$, i.e. de telle sorte à ce qu’on ait $F\oplus G=E$.

Définition formelle

Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $k$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E.$ On appelle supplémentaire de $F$ dans $E$ tout sous-espace vectoriel $G$ de $E$ tel que $F\oplus G=E.$

Exemples

• Deux droites vectorielles distinctes de $\mathbb{R}^{2}$ sont supplémentaires.

• Un plan vectoriel $P$ et une droite vectorielle $D$ de $\mathbb{R}^{3}$ sont supplémentaires si et seulement si $D$ n’est pas inclue dans $P.$
• Si $H$ est un hyperplan de $E$ alors pour tout $x\in E\setminus H$, les espaces $H$ et $\mathrm{Vect}(x)$ sont supplémentaires dans $E.$

Pièges

• Il ne faut pas confondre supplémentaire et complémentaire. L’ensemble $E\setminus F$ n’est jamais un sous-espace vectoriel de $E$ car il ne contient pas $0.$
• En général un sous-espace $F$ possède de nombreux supplémentaires. Il n’est donc pas possible de déduire de l’égalité $F\oplus G=F\oplus G'$ que $G=G'$ (on ne peut pas "simplifier par $F$").
• "Être en somme directe" et "être supplémentaires" sont deux notions différentes. Par exemple deux droites vectorielles distinctes $D_{1}$ et $D_{2}$ de $\mathbb{R}^{3}$ sont en somme directe car leur intersection est réduite à $\set{0}$ mais $\dim(D_{1}\oplus D_{2})=2<3$ donc $D_{1}\oplus D_{2}\neq \mathbb{R}^{3}.$
• Le fait que $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$ est une condition nécessaire mais pas suffisante pour que $F$ et $G$ soient supplémentaires. Par exemple, si $f\in\mathcal{L}(E)$ on ne peut pas déduire du théorème du rang qui dit que $\dim(\ker(f))+\dim(\mathrm{im}(f))=\dim(E)$ que $\ker(f)\oplus\mathrm{im}(f)=E$. C’est faux en général notamment pour les endomorphismes nilpotents d’indice $2$ qui satisfont $\mathrm{im}(f)\subset \ker(f).$