Supplémentaire dans un produit cartésien

Je suspecte qu’il existe une solution nettement plus directe que celle ci-dessous mais je propose tout de même celle-ci en attendant mieux.

Notons $n=\dim(E)$ et $m=\dim(F).$ Soit $G$ un supplémentaire de $H:=\set{0}\times F$ dans $E\times F.$ Remarquons que, puisque $\set{0}\times F$ est évidemment de dimension $m$ alors tout supplémentaire sera de dimension $\dim(E\times F)-m=(n+m)-m=n.$ Ainsi $\dim(G)=n.$ Essayons de construire l’application $f.$ L’énoncé suggère que si $(x,y)\in G$ alors la seconde coordonnée $y$ ne dépend que de $x.$ On considère alors les applications linéaires suivantes :

• $\iota_{1}\colon x\in E\longmapsto (x,0)\in E\times F$, l’inclusion canonique de $E$ dans le produit $E\times F.$
• $\pi_{G}\colon X+Y\in E=G\oplus H\longmapsto X$, la projection sur $G$ parallèlement à $H.$
• $p_{2}\colon (x,y)\in E\times F\longmapsto y\in F$, la projection canonique sur la deuxième coordonnée.
  On définit alors naturellement $f=p_{2}\circ \pi_{G}\circ \iota_{1}\in\mathcal{L}(E,F)$. Il ne nous reste plus qu’à montrer que $f$ est l’application recherchée ! Posons $\widetilde{G}=\set{(x,f(x))\mid x\in E}$ et montrons que $G=\widetilde{G}$. L’ensemble $\widetilde{G}$ est un sous-espace vectoriel de $E\times F$ de dimension $n$ car c’est l’image de l’application linéaire injective $x\in E\longmapsto (x,f(x))\in E\times F$ (son noyau est réduit à $\set{0_{E}}$). Par ailleurs, pour $X=(x,y)\in G$ on peut écrire $X=(x,0)+(0,y)=\iota(x)+(0,y)=\pi_{G}(\iota(x)+(0,y))$ si bien que d’une part $p_{2}(X)=y$ et d’autre part $p_{2}(X)=f(x)$ par définition de $f.$ Donc $X=(x,f(x))\in\widetilde{G}.$ On a donc $G\subset \widetilde{G}$ puis $G=\widetilde{G}$ car il s’agit d’inclusion d’espaces vectoriels de mêmes dimensions.