Supplémentaire dans un produit cartésien

Exercice sympa ! Est-ce que les conditions de dimension finie sur $E$ et sur $F$ sont nécessaires ?

Merci !
Pour l’hypothèse de finitude j’aurais tendance à penser qu’elle n’est pas utile mais je ne vois pas comment en débarrasser nos deux preuves.

Je pense avoir trouvé, je soumets la preuve !