Somme télescopique
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Revision 5225
9/16/2026, 7:38:13 PM · quark67
Emploi des symboles ⩽ et ⩾ au lieu de ≤ et ≥
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##### Définition formelle2
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Une somme télescopique est une somme de différences consécutives d'une suite réelle ou complexe $(u_k)_{k\geq 0}$, de la forme3
Une somme télescopique est une somme de différences consécutives d'une suite réelle ou complexe $(u_k)_{k\geqslant0}$, de la forme4
$$5
S=\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k),6
$$7
où $m$ et $n$ sont des entiers tels que $0\leq m\leq n$.7
où $m$ et $n$ sont des entiers tels que $0\leqslant m\leqslant n$.8
9
Par annulation des termes intermédiaires, elle vérifie l'identité10
$$11
\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k)=u_{n+1}-u_m.12
$$13
14
##### Exemples15
16
- Pour17
$$18
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},19
$$20
on obtient, pour tout entier $n\geq 1$ :20
on obtient, pour tout entier $n\geqslant 1$ :21
$$22
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}23
=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)24
=1-\frac{1}{n+1}25
=\frac{n}{n+1}.26
$$Revision 5217
9/16/2026, 5:32:26 PM · Ancient Tree
Concept created
##### Définition formelle
Une somme télescopique est une somme de différences consécutives d'une suite réelle ou complexe $(u_k)_{k\geq 0}$, de la forme
$$
S=\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k),
$$
où $m$ et $n$ sont des entiers tels que $0\leq m\leq n$.
Par annulation des termes intermédiaires, elle vérifie l'identité
$$
\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k)=u_{n+1}-u_m.
$$
##### Exemples
- Pour
$$
\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},
$$
on obtient, pour tout entier $n\geq 1$ :
$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}
=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)
=1-\frac{1}{n+1}
=\frac{n}{n+1}.
$$