Somme télescopique

Définition formelle

Une somme télescopique est une somme de différences consécutives d’une suite réelle ou complexe $(u_k)_{k\geqslant0}$, de la forme
$$S=\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k),$$où $m$ et $n$ sont des entiers tels que $0\leqslant m\leqslant n$.

Par annulation des termes intermédiaires, elle vérifie l’identité
$$\sum_{k=m}^{n}(u_{k+1}-u_k)=u_{n+1}-u_m.$$

Exemples

• Pour
  $$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},$$on obtient, pour tout entier $n\geqslant 1$ :
  $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} =\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) =1-\frac{1}{n+1} =\frac{n}{n+1}.$$