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###### Définition intuitive
Une [[permutation|permutation]] se décompose en échanges élémentaires, et le nombre de ces échanges n'est pas déterminé, mais sa parité l'est. Cette dichotomie pair/impair coupe le groupe symétrique en deux moitiés exactement égales, et le sous-groupe alterné est celle qui contient l'identité : les permutations paires. 

###### Définition formelle
Soit $n\geqslant 1$. La [[signature|signature]] $\varepsilon:\mathfrak{S}_n\to\{-1,1\}$ est un morphisme de groupes, surjectif dès que $n\geqslant 2$. Le *groupe alterné* est son noyau :
$$\mathfrak{A}_n=\ker\varepsilon=\bigl\{\sigma\in\mathfrak{S}_n\ :\ \varepsilon(\sigma)=1\bigr\}.$$
C'est donc un [[sous-groupe distingué|sous-groupe distingué]] de $\mathfrak{S}_n$, et pour $n\geqslant 2$ le [[premier théorème d'isomorphisme|premier théorème d'isomorphisme]] donne
$$\mathfrak{S}_n/\mathfrak{A}_n\simeq\{-1,1\},\qquad [\mathfrak{S}_n:\mathfrak{A}_n]=2,\qquad |\mathfrak{A}_n|=\frac{n!}{2}.$$

###### Exemples
1. **Petits cas.** $\mathfrak{A}_1=\mathfrak{A}_2=\{\mathrm{id}\}$ ; $\mathfrak{A}_3=\{\mathrm{id},(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, simple car d'ordre premier ; $\mathfrak{A}_4$ est d'ordre $12$.
2. **$\mathfrak{A}_4$ et le groupe de Klein.** Le sous-groupe $V=\{\mathrm{id},(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ est distingué dans $\mathfrak{A}_4$ et même dans $\mathfrak{S}_4$. C'est ce qui empêche $\mathfrak{A}_4$ d'être simple, et c'est aussi ce qui rend résoluble l'équation du quatrième degré.
3. **$\mathfrak{A}_5$.** D'ordre $60$, c'est le plus petit groupe simple non abélien. Ses classes de conjugaison ont pour cardinaux $1,15,20,12,12$, et l'on vérifie qu'aucune réunion contenant $\mathrm{id}$ n'a un cardinal divisant $60$ hormis $1$ et $60$, ce qui redonne la simplicité par un simple décompte.
4. **Géométrie.** $\mathfrak{A}_4$ est le groupe des rotations du tétraèdre régulier, $\mathfrak{A}_5$ celui de l'icosaèdre et du dodécaèdre. Le groupe des rotations du cube est $\mathfrak{S}_4$, par son action sur les quatre grandes diagonales.