Groupe alterné

Définition intuitive

Une permutation se décompose en échanges élémentaires, et le nombre de ces échanges n’est pas déterminé, mais sa parité l’est. Cette dichotomie pair/impair coupe le groupe symétrique en deux moitiés exactement égales, et le sous-groupe alterné est celle qui contient l’identité : les permutations paires.

Définition formelle

Soit $n\geqslant 1$. La signature $\varepsilon:\mathfrak{S}_n\to\{-1,1\}$ est un morphisme de groupes, surjectif dès que $n\geqslant 2$. Le groupe alterné, noté $A_{n}$ ou avec un A en écriture gothique comme ci-dessous, est son noyau :
$$\mathfrak{A}_n=\ker\varepsilon=\bigl\{\sigma\in\mathfrak{S}_n\ :\ \varepsilon(\sigma)=1\bigr\}.$$C’est donc un sous-groupe distingué de $\mathfrak{S}_n$, et pour $n\geqslant 2$ le premier théorème d’isomorphisme donne
$$\mathfrak{S}_n/\mathfrak{A}_n\simeq\{-1,1\},\qquad [\mathfrak{S}_n:\mathfrak{A}_n]=2,\qquad |\mathfrak{A}_n|=\frac{n!}{2}.$$

Exemples

1. Petits cas. $\mathfrak{A}_1=\mathfrak{A}_2=\{\mathrm{id}\}$ ; $\mathfrak{A}_3=\{\mathrm{id},(1\,2\,3),(1\,3\,2)\}\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, simple car d’ordre premier ; $\mathfrak{A}_4$ est d’ordre $12$.
2. $\mathfrak{A}_4$ et le groupe de Klein. Le sous-groupe $V=\{\mathrm{id},(1\,2)(3\,4),(1\,3)(2\,4),(1\,4)(2\,3)\}$ est distingué dans $\mathfrak{A}_4$ et même dans $\mathfrak{S}_4$. C’est ce qui empêche $\mathfrak{A}_4$ d’être simple, et c’est aussi ce qui rend résoluble l’équation du quatrième degré.
3. $\mathfrak{A}_5$. D’ordre $60$, c’est le plus petit groupe simple non abélien. Ses classes de conjugaison ont pour cardinaux $1,15,20,12,12$, et l’on vérifie qu’aucune réunion contenant $\mathrm{id}$ n’a un cardinal divisant $60$ hormis $1$ et $60$, ce qui redonne la simplicité par un simple décompte.
4. Géométrie. $\mathfrak{A}_4$ est le groupe des rotations du tétraèdre régulier, $\mathfrak{A}_5$ celui de l’icosaèdre et du dodécaèdre. Le groupe des rotations du cube est $\mathfrak{S}_4$, par son action sur les quatre grandes diagonales.