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##### Définition 
On considère $X = \mathbb R$ ou $\mathbb C$. 
Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ de $X$ est dite *arithmético-géométrique* s'il existe deux éléments $a,b\in X$ tels que
\[ \forall n\in\mathbb N, \qquad u_{n+1}=au_n+b. \]
Le nombre $a$ est appelé la partie géométrique de la relation de récurrence et $b$ sa partie arithmétique. 

##### Remarques 
- Lorsque $a=1$, la suite est [[Suite arithmétique|arithmétique]].
- Lorsque $b=0$, la suite est [[Suite géométrique|géométrique]].
- Si $a\neq 1$, la suite admet un unique point fixe $\alpha\in X$ vérifiant
\[ \alpha=a\alpha+b, \]
c'est-à-dire
\[ \alpha=\frac{b}{1-a}. \]
Ainsi, la suite $(u_n-\alpha)_n$ est géométrique de raison $a$ :
\[ \forall n\in\mathbb N, \qquad u_{n+1}-\alpha = a(u_n-\alpha). \]
On en déduit une expression de la suite en fonction de $n$ :
\[ u_n-\alpha = a^n(u_0-\alpha), \]
puis
\[ u_n = a^n(u_0-\alpha)+\alpha. \]
#####Exemple
- Considérons la suite définie par
\[ \left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1,\\ u_{n+1} = 2u_n + 3. \end{array} \right. \]
Cette suite est arithmético-géométrique avec
\[ a=2 \qquad\text{et}\qquad b=3. \]
Cherchons son point fixe $\alpha$ :
\[ \alpha=2\alpha+3 \]
d'où
\[ \alpha=-3. \]
La suite $(u_n-\alpha)_n=(u_n+3)_n$ est alors géométrique de raison $2$.
En effet, pour tout $n\in \mathbb{N^{*}}$,
\[u_n+3 = 2u_{n-1} + 6 = 2(u_{n-1}+3).\]
On obtient donc
\[ u_n+3 = 2^n(u_{0}+3) = 4\cdot 2^n. \]
Finalement,
\[ u_n = 4\cdot 2^n-3. \]