Suite arithmético-géométrique

Définition

On considère $X = \mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ de $X$ est dite arithmético-géométrique s’il existe deux éléments $a,b\in X$ tels que
$$\forall n\in\mathbb N, \qquad u_{n+1}=au_n+b.$$Le nombre $a$ est appelé la partie géométrique de la relation de récurrence et $b$ sa partie arithmétique.

Remarques

• Lorsque $a=1$, la suite est arithmétique.
• Lorsque $b=0$, la suite est géométrique.
• Si $a\neq 1$, la suite admet un unique point fixe $\alpha\in X$ vérifiant
  $$\alpha=a\alpha+b,$$c’est-à-dire
  $$\alpha=\frac{b}{1-a}.$$Ainsi, la suite $(u_n-\alpha)_n$ est géométrique de raison $a$ :
  $$\forall n\in\mathbb N, \qquad u_{n+1}-\alpha = a(u_n-\alpha).$$On en déduit une expression de la suite en fonction de $n$ :
  $$u_n-\alpha = a^n(u_0-\alpha),$$puis
  $$u_n = a^n(u_0-\alpha)+\alpha.$$

Exemple

• Considérons la suite définie par
  $$\left\{ \begin{array}{l} u_0 = 1,\\ u_{n+1} = 2u_n + 3. \end{array} \right.$$Cette suite est arithmético-géométrique avec
  $$a=2 \qquad\text{et}\qquad b=3.$$Cherchons son point fixe $\alpha$ :
  $$\alpha=2\alpha+3$$d’où
  $$\alpha=-3.$$La suite $(u_n-\alpha)_n=(u_n+3)_n$ est alors géométrique de raison $2$.
  En effet, pour tout $n\in \mathbb{N^{*}}$,
  $$u_n+3 = 2u_{n-1} + 6 = 2(u_{n-1}+3).$$On obtient donc
  $$u_n+3 = 2^n(u_{0}+3) = 4\cdot 2^n.$$Finalement,
  $$u_n = 4\cdot 2^n-3.$$