Suite géométrique

Définition formelle

On considère $X=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $X$ est dite géométrique s’il existe $q\in X$ tel que
$$\forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_{n+1}=q\,u_n.$$Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite.

Remarques

• Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors
  $$\forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_n=u_0\,q^n.$$

• Si $q=1$, la suite est constante égale à $u_0$ et
  $$\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)u_0.$$

• Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout $n\in\mathbb N$,
  $$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$Plus généralement, si la somme commence au rang $p$, alors pour tout $n\in\mathbb N$ tel que $n\ge p$,
  $$\sum_{k=p}^{n} u_k = u_p\,\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}.$$Pour retenir ces formules, il suffit de se rappeler que :
  $$\text{Somme} = \text{premier terme de la somme} \times \frac{1-\text{raison}^{\,\text{nombre de termes}}} {1-\text{raison}}.$$

Exemples

• La suite définie par $u_n = 3\cdot 2^n$ est une suite géométrique de raison $2$ puisque
  $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3\cdot 2^{n+1}}{3\cdot 2^n} = 2.$$
• La suite définie par $u_n=\left(\frac12\right)^n$ est une suite géométrique de raison
  $$q=\frac12.$$