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##### Définition formelle
On considère $X=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
Une [[suite]] $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $X$ est dite *géométrique* s'il existe $q\in X$ tel que
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_{n+1}=q\,u_n. \]
Le nombre $q$ est appelé la *raison* de la suite.

##### Remarques 
- Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$, alors
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_n=u_0\,q^n. \]

- Si $q=1$, la suite est constante égale à $u_0$ et
\[ \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)u_0. \]

- Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout $n\in\mathbb N$,
\[ \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0\,\frac{1-q^{n+1}}{1-q}. \]
Plus généralement, si la somme commence au rang $p$, alors pour tout $n\in\mathbb N$ tel que $n\ge p$,
\[ \sum_{k=p}^{n} u_k = u_p\,\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q}. \]
Pour retenir ces formules, il suffit de se rappeler que :
\[ \text{Somme} = \text{premier terme de la somme} \times \frac{1-\text{raison}^{\,\text{nombre de termes}}} {1-\text{raison}}. \]

##### Exemples
- La suite définie par
\[ u_n = 3\cdot 2^n \]
est une suite géométrique de raison $2$ puisque
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3\cdot 2^{n+1}}{3\cdot 2^n} = 2. \]
- La suite définie par
\[ u_n=\left(\frac12\right)^n \]
est une suite géométrique de raison
\[ q=\frac12. \]