Suite arithmétique

Définition

On considère $X = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
Une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $X$ est dite arithmétique sil existe $r\in X$ tel que
$$\forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_{n+1}=u_n+r.$$Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite.

Remarque

• Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors
  $$\forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_n=u_0+nr.$$
• Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors, pour tout $n\in\mathbb N$,
  $$\sum_{k=0}^{n} u_k = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} = \frac{n+1}{2}\bigl(2u_0+nr\bigr).$$De la même manière, si la somme commence à partir du rang $p$, alors pour tout $n\in\mathbb N$ tel que $n\ge p$,
  $$\sum_{k=p}^{n} u_k = \frac{(n+1-p)(u_p+u_n)}{2} = \frac{n+1-p}{2}\bigl(2u_p+(n-p)r\bigr)$$Pour retenir ces formules, il suffit de se rappeler que :
  $$\text{Somme} = \text{nombre de termes dans la somme} \times \text{moyenne du premier et du dernier terme de la somme}.$$

Exemples

• La suite définie par $u_n = 3+2n$ est une suite arithmétique de raison $2$ puisque
  $$u_{n+1}-u_n = 2.$$