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##### Définition
Une [[suite]] $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $X$ est dite *arithmétique* sil existe $r\in X$ tel que
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_{n+1}=u_n+r. \]
Le nombre $r$ est appelé la *raison* de la suite.

##### Remarque 
- Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors
\[ \forall n \in \mathbb{N}, \qquad u_n=u_0+nr. \]
- Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors, pour tout $n\in\mathbb N$,
\[ \sum_{k=0}^{n} u_k = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2} = \frac{n+1}{2}\bigl(2u_0+nr\bigr). \]
De la même manière, si la somme commence à partir du rang $p$, alors pour tout $n\in\mathbb N$ tel que $n\ge p$,
\[ \sum_{k=p}^{n} u_k = \frac{(n+1-p)(u_p+u_n)}{2} = \frac{n+1-p}{2}\bigl(2u_p+(n-p)r\bigr)\]
Pour retenir ces formules, il suffit de se rappeler que :
\[ \text{Somme} = \text{nombre de termes dans la somme} \times \text{moyenne du premier et du dernier terme de la somme}. \]

##### Exemples
- La suite définie par $u_n = 3+2n$ est une suite arithmétique de raison $2$ puisque
\[ u_{n+1}-u_n = 2. \]