Suite convergente

Définition intuitive

Soit $(u_{n})$ une suite complexe, on dit que $(u_{n})$ converge si elle se rapproche d’une certaine valeur $l\in\C$ à mesure que $n$ augmente. Sinon elle diverge.

Définition formelle dans $\mathbb{C}$

Soit $(u_{n})\in\C^{\N}$, on dit que $(u_{n})$ converge vers $\ell\in\mathbb{C}$ si
$$\forall\varepsilon>0,\exist N\in\N\text{ tel que }n>N \implies|u_{n}-\ell|<\varepsilon$$$\ell$ est appelé sa limite et on note $\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n}=\ell$.

Définition formelle dans un espace métrique

Soit $(E,d)$ un espace métrique et $(u_{n})\in E^{\mathbb{N}}$. On dit que $(u_{n})$ converge vers $\ell \in E$ si
$$\forall\varepsilon>0,\exist N\in\N\text{ tel que }n>N \implies d(u_{n},\ell)<\varepsilon$$

Définition formelle dans un espace topologique

Soit $(X,\mathcal{T})$ un espace topologique et $(u_{n})\in X^{\mathbb{N}}.$ On dit que $(u_{n})$ converge vers $\ell\in X$ si
$$\forall U\in \mathcal{T}\text{ contenant }\ell, \exists N\in\mathbb{N}\text{ tel que }n>N\Rightarrow u_{n}\in U.$$

Remarque

• Lorsqu’une suite converge dans un espace métrique sa limite est unique mais ça n’est pas vrai en général dans un espace topologique.

Exemples

• La suite $(u_{n})_{n\in\N^*}$ définie par $u_{n}=\frac{1}{n}$ converge vers 0 ;
• La suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=\sin(n)$ diverge.