Ivan Shishkin, Birch Grove

Suite de Cauchy

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Revision 6135

9/29/2026, 7:47:35 AM · Ancient Tree

Updated text

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1##### Définition intuitive
2
3Une suite de Cauchy est une suite d'éléments dont les termes se rapprochent progressivement les uns des autres.
4
5##### Définition formelle
6
7Soit $E$ un [[espace métrique|espace métrique]] muni de la distance $d$.
8Soit $(u_{n})_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $E$.
9$(u_{n})_{n\in \N}$ est de Cauchy si et seulement si
10$$\forall \epsilon > 0,\exist N\in \N,\forall p,q \ge N, d(u_{p},u_{q})<\epsilon $$
11
12#### Propriétés
13
14- Toute suite de Cauchy est borné.
14- Toute suite de Cauchy est [[suite bornée|bornée]].
15- Toute suite convergente est de Cauchy.
15- Toute [[suite-convergente|suite convergente]] est de Cauchy.
16
17##### Exemples
18
19- Dans $\R$ les suites de Cauchy sont exactements les suites convergentes. On dit que $\R$ est [[espace métrique complet| complet]].

Revision 6128

9/29/2026, 7:43:02 AM · 2doupi

Updated text

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1##### Définition intuitive
2
3Une suite de Cauchy est une suite d'éléments dont les termes se rapprochent progressivement les uns des autres.
4
5##### Définition formelle
6
7Soit $E$ un [[espace métrique|espace métrique]] muni de la distance $d$.
8Soit $(u_{n})_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $E$.
9$(u_{n})_{n\in \N}$ est de Cauchy si et seulement si
10$$\forall \epsilon > 0,\exist N\in \N,\forall p,q \ge N, d(u_{p},u_{q})<\epsilon $$
11
12#### Propriétés
13
14- Toute suite de Cauchy est borné.
15- Toute suite convergente est de Cauchy.
16
17##### Exemples
18
19- Dans $\R$ les suites de Cauchy sont exactements les suites convergentes. On dit que $\R$ est [[complet|complet]].
19- Dans $\R$ les suites de Cauchy sont exactements les suites convergentes. On dit que $\R$ est [[espace métrique complet| complet]].

Revision 6127

9/29/2026, 7:41:45 AM · 2doupi

Updated text

Compare with revision 61257 changed lines
1##### Définition intuitive
2
3Une suite de Cauchy est une suite d'éléments dont les termes se rapprochent progressivement les uns des autres.
4
5##### Définition formelle
6
7Soit $E$ un [[espace métrique|espace métrique]] muni de la distance $d$.
8Soit $(u_{n})_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $E$.
9$(u_{n})_{n\in \N}$ est de Cauchy si et seulement si
10$$\forall \epsilon > 0,\exist N\in \N,\forall p,q \ge N, d(u_{p},u_{q})<\epsilon $$
11
12#### Propriétés
13
14- Toute suite de Cauchy est borné.
15- Toute suite convergente est de Cauchy.
16
12##### Exemples
18
19- Dans $\R$ les suites de Cauchy sont exactements les suites convergentes. On dit que $\R$ est [[complet|complet]].

Revision 6125

9/29/2026, 7:36:37 AM · 2doupi

Concept created

##### Définition intuitive

Une suite de Cauchy est une suite d'éléments dont les termes se rapprochent progressivement les uns des autres.

##### Définition formelle

Soit $E$ un [[espace métrique|espace métrique]] muni de la distance $d$.
Soit $(u_{n})_{n\in \N}$ une suite d'éléments de $E$. 
$(u_{n})_{n\in \N}$ est de Cauchy si et seulement si
$$\forall \epsilon > 0,\exist N\in \N,\forall p,q \ge N, d(u_{p},u_{q})<\epsilon $$

##### Exemples