Suite de Cauchy

Définition intuitive

Une suite de Cauchy est une suite d’éléments dont les termes se rapprochent progressivement les uns des autres.

Définition formelle

Soit $E$ un espace métrique muni de la distance $d$.
Soit $(u_{n})_{n\in \N}$ une suite d’éléments de $E$.
$(u_{n})_{n\in \N}$ est de Cauchy si et seulement si
$$\forall \epsilon > 0,\exist N\in \N,\forall p,q \ge N, d(u_{p},u_{q})<\epsilon$$

Propriétés

• Toute suite de Cauchy est bornée.
• Toute suite convergente est de Cauchy.

Exemples

• Dans $\R$ les suites de Cauchy sont exactements les suites convergentes. On dit que $\R$ est complet.