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##### Énoncé intuitif
Le théorème de Frobenius répond à une question très concrète : dans quels espaces peut-on
additionner, multiplier et diviser comme dans $\mathbb{R}$ ? La réponse est qu'il n'y a que
trois possibilités, et qu'elles sont toutes déjà connues : les réels, les complexes et les
quaternions. Autrement dit, en dimension finie sur $\mathbb{R}$, exiger que tout élément non
nul soit inversible est une contrainte si forte qu'elle interdit tout au-delà de la dimension
$4$ — et impose même d'abandonner la commutativité dès la dimension $4$. L'idée de la preuve
est que chaque élément engendre une sous-algèbre commutative qui est une extension finie de
$\mathbb{R}$, donc $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ : tout élément est ainsi racine d'un trinôme
réel, ce qui munit la partie « imaginaire » de l'algèbre d'une forme quadratique définie
positive et force sa dimension à valoir $0$, $1$ ou $3$. C'est le prototype des théorèmes de
classification en algèbre : une liste finie et explicite, sans exception sporadique.

##### Énoncé formel
**Théorème (Frobenius, 1878).** Soit $D$ une $\mathbb{R}$-algèbre associative, unitaire, de
dimension finie, dans laquelle tout élément non nul est inversible (une *algèbre à division*).
Alors $D$ est isomorphe, comme $\mathbb{R}$-algèbre, à l'une des trois algèbres $\mathbb{R},\mathbb{C}, \mathbb{H}$ de dimensions respectives $1$, $2$ et $4$.

*Schéma de preuve.* Pour $x\in D$, la sous-algèbre $\mathbb{R}[x]$ est commutative, intègre et
de dimension finie, donc c'est un corps, extension finie de $\mathbb{R}$ : par le théorème de
d'Alembert–Gauss, $\mathbb{R}[x]\simeq\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Tout $x$ vérifie donc une
équation $x^{2}-2ax+b=0$ avec $a,b\in\mathbb{R}$. Posons
$$V=\{x\in D\ :\ x^{2}\in\mathbb{R}_{\leqslant 0}\}.$$
On vérifie que $V$ est un sous-espace vectoriel et que $D=\mathbb{R}\oplus V$. La forme
$q(x)=-x^{2}$ est définie positive sur $V$, et la forme polaire associée montre que deux
éléments $q$-orthogonaux de $V$ anticommutent. Si $\dim V=0$, $D=\mathbb{R}$ ; si $\dim V=1$,
$D\simeq\mathbb{C}$ ; si $\dim V\geqslant 2$, deux vecteurs orthonormés $i,j$ engendrent une
copie de $\mathbb{H}$, et l'on montre qu'aucun vecteur supplémentaire ne peut lui être
orthogonal, d'où $\dim V=3$ et $D\simeq\mathbb{H}$. $\square$

##### Remarques
* Si l'on impose de plus la commutativité, seules $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ subsistent.
  En particulier $\mathbb{R}$ n'admet aucune extension de corps de degré fini autre que
  $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ : il n'existe pas de « corps des nombres tridimensionnels ».
* L'hypothèse d'associativité est essentielle. Si on l'affaiblit en supposant seulement
  l'existence d'une norme multiplicative, le théorème de Hurwitz donne quatre possibilités :
  $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ et l'algèbre des octonions $\mathbb{O}$, de dimension $8$.
* Sans aucune hypothèse d'associativité, une $\mathbb{R}$-algèbre à division de dimension
  finie ne peut être que de dimension $1$, $2$, $4$ ou $8$ (Bott–Milnor–Kervaire, 1958) ;
  la preuve est topologique et non algébrique, et il existe alors une infinité de telles
  algèbres non isomorphes.
* Le pendant en caractéristique quelconque pour les corps *finis* est le petit théorème de
  Wedderburn : tout corps fini est commutatif, donc il n'existe pas d'analogue fini des
  quaternions.
* Reformulation cohomologique : le théorème équivaut à $\mathrm{Br}(\mathbb{R})\simeq
  \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, les deux classes du groupe de Brauer étant représentées par
  $\mathbb{R}$ et $\mathbb{H}$.
* Le nom de Frobenius est attaché à plusieurs autres énoncés — le théorème sur les groupes de
  Frobenius, celui sur le nombre de solutions de $x^{n}=e$, le théorème d'intégrabilité en
  géométrie différentielle —, sans lien avec celui-ci.

##### Exemples
1. $\mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^{2}+1)$ réalise le cas $\dim V=1$ : ici $V=\mathbb{R}i$ et
   $q(ti)=t^{2}$.
2. $\mathbb{H}=\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}i\oplus\mathbb{R}j\oplus\mathbb{R}k$ avec
   $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ réalise le cas $\dim V=3$ : $V$ est l'espace des quaternions
   purs, muni de la forme euclidienne usuelle, et le produit vectoriel de $\mathbb{R}^{3}$ y
   apparaît comme partie imaginaire du produit quaternionique.
3. Tout élément de $\mathbb{H}\setminus\mathbb{R}$ engendre une sous-algèbre isomorphe à
   $\mathbb{C}$ : $\mathbb{H}$ contient une infinité de copies de $\mathbb{C}$, indexées par
   la sphère unité de $V$.
4. **Contre-exemple : $M_2(\mathbb{R})$.** De dimension $4$ comme $\mathbb{H}$, mais ce n'est
   pas une algèbre à division : $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ est nilpotente.
   Les deux algèbres ne sont donc pas isomorphes, alors même que
   $\mathbb{H}\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\simeq M_2(\mathbb{C})$.
5. **Contre-exemple : $\mathbb{R}[X]/(X^{2})$.** De dimension $2$, mais la classe de $X$ est
   nilpotente non nulle : l'hypothèse de division est bien nécessaire pour conclure
   $D\simeq\mathbb{C}$.
6. **Contre-exemple : $\mathbb{O}$.** Les octonions forment une algèbre à division de
   dimension $8$, non associative : $(ij)\ell\neq i(j\ell)$ pour certains éléments de base.
   Ils montrent que l'associativité ne peut pas être retirée de l'énoncé.
7. Sur un corps algébriquement clos $K$, la seule $K$-algèbre à division de dimension finie
   est $K$ lui-même : le théorème de Frobenius est un phénomène propre aux corps réels clos.