Théorème de factorisation de Weierstrass

Définition intuitive

Le théorème de factorisation de Weierstrass permet de factoriser une fonction suffisamment régulière en fonction de ses racines.

Définition formelle

Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}}$ une fonction entière d’ordre $\rho$ fini, alors $\forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}\cdot e^{P(z)}\cdot\prod\limits_{n=1}^{+\infty}E_{p}(z/a_n)$

Avec :

• $P(z)$ ;
• $p = \lfloor \rho \rfloor$ ;
• $E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}$ ;
• $(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}}$ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction $f$ (différentes de 0) ;
• $m \in \mathbb{N}$, l’ordre de multiplicité de l’éventuelle racine de $f$ en $z=0$.

Exemples

• $\forall z\in \mathbb{C},\ \sin(z)= z\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2}\right)$