Théorème de factorisation

Definition intuitive

Le théorème de factorisation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.

Definition formelle

Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$

Exemples

• $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$