Théorème de factorisation
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Revision 1716
8/20/2026, 8:55:52 AM · Cypress
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1
## Definition intuitive2
3
Le théorème de factoridation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.3
Le théorème de factorisation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.4
5
## Definition formelle6
7
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$8
## Exemples9
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$Revision 1715
8/19/2026, 11:27:34 PM · Cypress
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1
## Definition intuitive2
3
Le théorème de factoridation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.4
5
## Definition formelle6
7
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$$7
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$8
## Exemples9
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$Revision 1714
8/19/2026, 11:27:19 PM · Cypress
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1
## Definition intuitive2
3
Le théorème de factoridationde Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.3
Le théorème de factoridation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.4
5
## Definition formelle6
7
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$$8
## Exemples9
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$Revision 1713
8/19/2026, 11:26:55 PM · Cypress
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## Intuitive definition1
## Definition intuitive2
3
Le théorème de factoridationde Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.4
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## Formal definition5
## Definition formelle6
7
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho =\lim \\ \text{• } E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• } (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitéesde la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$7
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$$8
##Examples8
## Exemples9
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= \prod_{k=1}^{\infty}$9
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$Revision 1712
8/19/2026, 11:07:12 PM · Cypress
Concept created
## Intuitive definition
Le théorème de factoridationde Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
## Formal definition
Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho =\lim \\ \text{• } E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• } (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitéesde la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$
##Examples
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= \prod_{k=1}^{\infty}$