Ivan Shishkin, Birch Grove

Théorème de factorisation de Weierstrass

Concept history

A revision trail for this concept page.

8 revisions

Back

Revision 4809

9/13/2026, 2:11:38 PM · darktoaster

titre

titleThéorème de factorisationThéorème de factorisation de Weierstrass

Revision 4744

9/13/2026, 7:42:33 AM · Ancient Tree

Updated text

Compare with revision 47212 changed lines
1## Définition intuitive
2
3Le théorème de factorisation de Weierstrass permet de factoriser une fonction suffisamment régulière en fonction de ses racines.
4
5## Définition formelle
6
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}}$ une fonction entière d'ordre $\rho$ fini, alors $\forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}\cdot e^{P(z)}\cdot\prod\limits_{n=1}^{+\infty}E_{p}(z/a_n)$
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}}$ une [[fonction entière|fonction entière]] d'ordre $\rho$ fini, alors $\forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}\cdot e^{P(z)}\cdot\prod\limits_{n=1}^{+\infty}E_{p}(z/a_n)$
8
9Avec :
10* $P(z)$ ;
11* $p = \lfloor \rho \rfloor$ ;
12* $E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}$ ;
13* $(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}}$ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction $f$ (différentes de 0) ;
14* $m \in \mathbb{N}$, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de $f$ en $z=0$.
15
16## Exemples
17- $\forall z\in \mathbb{C},\ \sin(z)= z\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2}\right)$

Revision 4721

9/13/2026, 12:07:28 AM · quark67

Amélioration de la typographie et de l'orthographe, sortie du texte du mode mathématique, remplacement de 𝜌 dans la liste (déjà défini, ordre de la fonction 𝑓) par 𝑃(𝑧), qui reste à définir.

Compare with revision 171618 changed lines
1## Definition intuitive
1## Définition intuitive
2
3Le théorème de factorisation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
3Le théorème de factorisation de Weierstrass permet de factoriser une fonction suffisamment régulière en fonction de ses racines.
4
5## Definition formelle
5## Définition formelle
6
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}}$ une fonction entière d'ordre $\rho$ fini, alors $\forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}\cdot e^{P(z)}\cdot\prod\limits_{n=1}^{+\infty}E_{p}(z/a_n)$
8
9Avec :
10* $P(z)$ ;
11* $p = \lfloor \rho \rfloor$ ;
12* $E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}$ ;
13* $(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}}$ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction $f$ (différentes de 0) ;
14* $m \in \mathbb{N}$, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de $f$ en $z=0$.
15
8## Exemples
9- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$
17- $\forall z\in \mathbb{C},\ \sin(z)= z\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2}\right)$

Revision 1716

8/20/2026, 8:55:52 AM · Cypress

Updated text

Compare with revision 17152 changed lines
1## Definition intuitive
2
3Le théorème de factoridation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
3Le théorème de factorisation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
4
5## Definition formelle
6
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$
8## Exemples
9- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$

Revision 1715

8/19/2026, 11:27:34 PM · Cypress

Updated text

Compare with revision 17142 changed lines
1## Definition intuitive
2
3Le théorème de factoridation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
4
5## Definition formelle
6
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$$
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$
8## Exemples
9- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$

Revision 1714

8/19/2026, 11:27:19 PM · Cypress

Updated text

Compare with revision 17132 changed lines
1## Definition intuitive
2
3Le théorème de factoridationde Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
3Le théorème de factoridation de Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
4
5## Definition formelle
6
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$$
8## Exemples
9- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$

Revision 1713

8/19/2026, 11:26:55 PM · Cypress

Updated text

Compare with revision 171210 changed lines
1## Intuitive definition
1## Definition intuitive
2
3Le théorème de factoridationde Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.
4
5## Formal definition
5## Definition formelle
6
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho =\lim \\ \text{• } E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• } (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitéesde la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$
7Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho\\ \text{• } p = \lfloor \rho \rfloor \\ \text{•}E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• }(a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitées de la fonction f (différentes de 0)}\\ \text{• m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$$
8##Examples
8## Exemples
9- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= \prod_{k=1}^{\infty}$
9- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= z\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{z^2}{(\pi k)^2})$

Revision 1712

8/19/2026, 11:07:12 PM · Cypress

Concept created

## Intuitive definition

Le théorème de factoridationde Weirstrass permet de factoriser une fonction suffisemment régulière en fonction de ses racines.

## Formal definition

Soit $f \in \mathbb{C}^{\mathbb{C}} \text{, une fonction entière d'odre } \rho \text{ fini, alors, } \forall z\in \mathbb{C}, f(z)= z^{m}.e^{P(z)}.\prod_{n=1}^{\infty}E_{p}(z/a_n)$$\\ \text{Avec : }\\ \text{• }\rho =\lim \\ \text{• } E_n(z)=\prod_{k=1}^{n}e^{z^{k}/k} \\ \text{• } (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C^{*}}^{\mathbb{N}} \text{ les racines comptées avec multiplicitéesde la fonction f (différentes de 0)}\\  \text{•  m} \in \mathbb{N}\text{, l'ordre de multiplicité de l'éventuelle racine de f én z=0}$
##Examples
- $\forall z\in \mathbb{C}, sin(z)= \prod_{k=1}^{\infty}$