Théorème de la base incomplète
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Revision 5920
9/26/2026, 1:17:03 PM · SalixBabylonica
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##### Théorème de la base incomplète2
Soit $E$ un $\mathbb K$-[[espace vectoriel]]. 3
Soit $(x_1,\dots,x_p)$ une [[famille libre]] de $E$ et $(x_1,\dots,x_q)$ une [[famille génératrice]] de $E$. 4
Alors on peut compléter la famille libre $(x_1,\dots,x_p)$ en une base de $E$ à l'aide de vecteurs choisis parmi les $x_{p+1},\dots,x_q$.4
Alors on peut compléter la famille libre $(x_1,\dots,x_p)$ en une base de $E$ à l'aide de vecteurs choisis parmi $x_{p+1},\dots,x_q$.5
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##### Corrollaire7
1) Si $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre de $E$ et si $\dim(E)<+\infty$, alors on peut compléter cette famille en une base de $E$.8
2) Si $(x_1,\dots,x_q)$ est une famille génératrice de $E$, alors on peut en extraire une base de $E$. En effet, il suffit d'appliquer le théorème de la base incomplète à la famille vide, qui est libre.Revision 5919
9/26/2026, 1:16:46 PM · SalixBabylonica
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##### Théorème de la base incomplète2
Soit $E$ un $\mathbb K$-[[espace vectoriel]]. 3
Soit $(x_1,\dots,x_p)$ une [[famille libre]] de $E$ et $(x_1,\dots,x_q)$ une [[famille génératrice]] de $E$. 4
Alors on peut compléter la famille libre $(x_1,\dots,x_p)$ en une base de $E$ à l'aide de vecteurs choisis parmi4
Alors on peut compléter la famille libre $(x_1,\dots,x_p)$ en une base de $E$ à l'aide de vecteurs choisis parmi les $x_{p+1},\dots,x_q$.5
les $x_{p+1},\dots,x_q$.6
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##### Corrollaire8
1) Si $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre de $E$ et si $\dim(E)<+\infty$, alors on peut compléter cette famille en une base de $E$.9
2) Si $(x_1,\dots,x_q)$ est une famille génératrice de $E$, alors on peut en extraire une base de $E$. En effet, il suffit d'appliquer le théorème de la base incomplète à la famille vide, qui est libre.Revision 5918
9/26/2026, 1:16:33 PM · SalixBabylonica
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##### Théorème de la base incomplète
Soit $E$ un $\mathbb K$-[[espace vectoriel]].
Soit $(x_1,\dots,x_p)$ une [[famille libre]] de $E$ et $(x_1,\dots,x_q)$ une [[famille génératrice]] de $E$.
Alors on peut compléter la famille libre $(x_1,\dots,x_p)$ en une base de $E$ à l'aide de vecteurs choisis parmi
les $x_{p+1},\dots,x_q$.
##### Corrollaire
1) Si $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre de $E$ et si $\dim(E)<+\infty$, alors on peut compléter cette famille en une base de $E$.
2) Si $(x_1,\dots,x_q)$ est une famille génératrice de $E$, alors on peut en extraire une base de $E$. En effet, il suffit d'appliquer le théorème de la base incomplète à la famille vide, qui est libre.