Théorème de la base incomplète

Théorème de la base incomplète

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel.
Soit $(x_1,\dots,x_p)$ une famille libre de $E$ et $(x_1,\dots,x_q)$ une famille génératrice de $E$.
Alors on peut compléter la famille libre $(x_1,\dots,x_p)$ en une base de $E$ à l’aide de vecteurs choisis parmi $x_{p+1},\dots,x_q$.

Corrollaire

1. Si $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre de $E$ et si $\dim(E)<+\infty$, alors on peut compléter cette famille en une base de $E$.
2. Si $(x_1,\dots,x_q)$ est une famille génératrice de $E$, alors on peut en extraire une base de $E$. En effet, il suffit d’appliquer le théorème de la base incomplète à la famille vide, qui est libre.