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##### Énoncé intuitif
Le théorème de Lagrange est la contrainte de base de toute la théorie des groupes finis : l'ordre d'un sous-groupe divise toujours l'ordre du groupe. La raison en est purement combinatoire et tient en une phrase : les translatés $gH$ d'un sous-groupe $H$ découpent $G$ en morceaux disjoints, tous de la même taille que $H$, si bien que $|G|$ est un multiple de $|H|$ — le multiplicateur étant précisément le nombre de morceaux, c'est-à-dire l'indice. Autrement dit, un groupe fini ne peut pas contenir de sous-structure de taille arbitraire : la factorisation de $|G|$ borne à l'avance tout ce qu'on peut espérer y trouver. C'est un théorème de contrainte, pas de construction : il interdit, il ne fournit rien. Sa réciproque est d'ailleurs fausse, et c'est tout l'objet des théorèmes de Cauchy et de Sylow que de rétablir une existence là où elle est vraie. Malgré sa démonstration élémentaire, ses conséquences sont partout : l'ordre d'un élément divise $|G|$, un groupe d'ordre premier est cyclique, et les petits théorèmes de Fermat et d'Euler n'en sont que des cas particuliers déguisés.

##### Énoncé formel
**Théorème (Lagrange).** Soit $G$ un groupe fini et $H\leqslant G$ un sous-groupe. Alors $|H|$ divise $|G|$, et plus précisément
$$|G|=[G:H]\cdot|H|,$$
où $[G:H]$ désigne l'indice de $H$ dans $G$, c'est-à-dire le nombre de classes à gauche $gH$.

*Preuve.* La relation $x\sim y \iff x^{-1}y\in H$ est une relation d'équivalence sur $G$, dont les classes sont exactement les ensembles $gH=\{gh : h\in H\}$. Ces classes forment donc une partition de $G$. Par ailleurs, pour tout $g\in G$, l'application $h\mapsto gh$ est une bijection de $H$ sur $gH$, d'inverse $x\mapsto g^{-1}x$ : toutes les classes ont le cardinal $|H|$. En notant $[G:H]$ leur nombre, on obtient $|G|=[G:H]\cdot|H|$. $\square$

**Corollaire.** Pour tout $g\in G$, l'ordre de $g$ divise $|G|$, et $g^{|G|}=e$.

*Preuve.* L'ordre de $g$ est $|\langle g\rangle|$, qui divise $|G|$ par le théorème. Si $|G|=k\cdot\mathrm{ord}(g)$, alors $g^{|G|}=(g^{\mathrm{ord}(g)})^{k}=e$. $\square$

##### Remarques
* La démonstration n'utilise aucune hypothèse de commutativité ni de normalité : elle vaut pour tout sous-groupe de tout groupe fini. Le même découpage avec les classes à droite $Hg$ donne le même comptage, les deux ensembles de classes étant en bijection par $gH\mapsto Hg^{-1}$.
* **La réciproque est fausse.** Un diviseur de $|G|$ n'est pas toujours l'ordre d'un sous-groupe : $\mathfrak{A}_4$ est d'ordre $12$ mais n'a aucun sous-groupe d'ordre $6$. Les théorèmes de Sylow fournissent une réciproque partielle, pour les puissances de nombres premiers uniquement ; le théorème de Cauchy en est le cas $p^{1}$.
* Une classe $gH$ n'est un sous-groupe que si $g\in H$, auquel cas $gH=H$ : la partition de $G$ n'est pas une partition en sous-groupes, mais en translatés.
* Lorsque $H\trianglelefteq G$, l'ensemble des classes est lui-même un groupe, le quotient $G/H$, et l'égalité s'écrit $|G|=|G/H|\cdot|H|$. Sans normalité, $G/H$ n'est qu'un ensemble, ce qui n'affecte en rien le comptage.
* L'énoncé s'étend aux groupes infinis sous la forme de la multiplicativité de l'indice : si $K\leqslant H\leqslant G$, alors $[G:K]=[G:H]\cdot[H:K]$, en tant qu'égalité de cardinaux. C'est cette version qui sert en théorie des groupes infinis et en théorie de Galois, où elle devient la multiplicativité des degrés d'extensions.
* Historiquement, Lagrange (1771) n'a pas énoncé ce théorème sous cette forme — la notion de groupe abstrait n'existait pas — mais a observé que le nombre de valeurs prises par un polynôme sous permutation de ses variables divise $n!$. La formulation moderne est due à Jordan.

##### Exemples
1. Dans $\mathfrak{S}_4$, d'ordre $24$, les ordres possibles de sous-groupes sont parmi $\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$ ; tous sont effectivement réalisés, mais c'est une coïncidence propre à ce groupe.
2. **Groupes d'ordre premier.** Si $|G|=p$ est premier, les seuls sous-groupes sont $\{e\}$ et $G$. Prenant $g\neq e$, on a $\langle g\rangle=G$ : tout groupe d'ordre premier est cyclique, donc isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. C'est le seul cas où la classification est immédiate.
3. **Petit théorème de Fermat.** Appliqué à $G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{*}$, d'ordre $p-1$, le corollaire donne $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ pour tout $a$ non divisible par $p$.
4. **Théorème d'Euler.** De même dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{*}$, d'ordre $\varphi(n)$ : $a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$ dès que $\mathrm{pgcd}(a,n)=1$.
5. **Sous-groupes d'indice $2$.** Si $[G:H]=2$, il n'y a que deux classes, $H$ et son complémentaire, à gauche comme à droite : $H$ est automatiquement distingué. C'est ainsi que $\mathfrak{A}_n\trianglelefteq\mathfrak{S}_n$.
6. **Contre-exemple à la réciproque.** $\mathfrak{A}_4$, d'ordre $12$, n'a pas de sous-groupe d'ordre $6$ : un tel sous-groupe serait d'indice $2$, donc distingué et contenant tous les carrés, or les huit $3$-cycles de $\mathfrak{A}_4$ sont des carrés, ce qui donnerait au moins $9>6$ éléments.
7. **Contre-exemple hors du cadre fini.** Dans $(\mathbb{Z},+)$, le sous-groupe $2\mathbb{Z}$ est de même cardinal que $\mathbb{Z}$, et pourtant d'indice $2$ : c'est bien l'indice, non le cardinal, qui porte l'information en dimension infinie.

##### Pour aller plus loin
Voir les théromes de Cauchy de Sylow.