Ivan Shishkin, Birch Grove

Théorème de Pythagore

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Revision 5525

9/21/2026, 6:45:41 PM · Ancient Tree

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typeDefinitionTheorem

Revision 5524

9/21/2026, 6:45:28 PM · Ancient Tree

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1### Théorème de Pythagore
2- Cas $\mathbb{R}^2$ (triangle)
3Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
3Si un triangle $ABC$ est [[triangle rectangle|rectangle]] en $A$, alors
4\[ BC^2 = AB^2 + AC^2. \]
5Réciproquement, si
6\[ BC^2 = AB^2 + AC^2, \]
7alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
8
9C'est le cas particulier du théorème ci-dessous, obtenu en posant $x = \overrightarrow{AB}$, $y = \overrightarrow{AC}$ dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ usuel : le triangle est rectangle en $A$ signifie $\langle x,y \rangle = 0$, et $BC^2 = \|y-x\|^2$.
10
11
12- Cas réel
13Soit $E$ un [[espace préhilbertien réel]]. Alors
14\begin{enumerate}
15\item Pour tous $x,y \in E$,
16\[ \langle x,y\rangle = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
17\item Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une [[famille orthogonale]], alors
18\[ \|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 . \]
19\end{enumerate}
20
21- Cas complexe
22Soit $E$ un [[espace préhilbertien complexe]]. Alors
23
24\begin{enumerate} \item Pour tous $x,y \in E$,
25\[ \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle ) = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
26\item Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une [[famille orthogonale]], alors
27\[ \|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 . \]
28\end{enumerate}

Revision 5518

9/21/2026, 5:29:36 PM · quark67

Emploi de \overrightarrow pour les vecteurs, et \operatorname{Re} pour composer la partie réelle, en remplaçement du R gothique, désuet. Ajout explicite de ⟨⋅,⋅⟩ pour indiquer la notation du produit scalaire

Compare with revision 55114 changed lines
1### Théorème de Pythagore
2- Cas $\mathbb{R}^2$ (triangle)
3Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
4\[ BC^2 = AB^2 + AC^2. \]
5Réciproquement, si
6\[ BC^2 = AB^2 + AC^2, \]
7alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
8
9C'est le cas particulier du théorème ci-dessous, obtenu en posant $x = \vec{AB}$, $y = \vec{AC}$ dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire usuel : le triangle est rectangle en $A$ signifie $\langle x,y \rangle = 0$, et $BC^2 = \|y-x\|^2$.
9C'est le cas particulier du théorème ci-dessous, obtenu en posant $x = \overrightarrow{AB}$, $y = \overrightarrow{AC}$ dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ usuel : le triangle est rectangle en $A$ signifie $\langle x,y \rangle = 0$, et $BC^2 = \|y-x\|^2$.
10
11
12- Cas réel
13Soit $E$ un [[espace préhilbertien réel]]. Alors
14\begin{enumerate}
15\item Pour tous $x,y \in E$,
16\[ \langle x,y\rangle = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
17\item Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une [[famille orthogonale]], alors
18\[ \|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 . \]
19\end{enumerate}
20
21- Cas complexe
22Soit $E$ un [[espace préhilbertien complexe]]. Alors
23
24\begin{enumerate} \item Pour tous $x,y \in E$,
25\[ \Re (\langle x,y\rangle ) = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
25\[ \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle ) = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
26\item Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une [[famille orthogonale]], alors
27\[ \|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 . \]
28\end{enumerate}

Revision 5511

9/21/2026, 2:54:34 PM · SalixBabylonica

Concept created

### Théorème de Pythagore
- Cas $\mathbb{R}^2$ (triangle)
Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2. \]
Réciproquement, si
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2, \]
alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

C'est le cas particulier du théorème ci-dessous, obtenu en posant $x = \vec{AB}$, $y = \vec{AC}$ dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire usuel : le triangle est rectangle en $A$ signifie $\langle x,y \rangle = 0$, et $BC^2 = \|y-x\|^2$.


- Cas réel
Soit $E$ un [[espace préhilbertien réel]]. Alors 
\begin{enumerate} 
\item Pour tous $x,y \in E$,
\[ \langle x,y\rangle = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
\item Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une [[famille orthogonale]], alors
\[ \|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 . \]
\end{enumerate}

- Cas complexe
Soit $E$ un [[espace préhilbertien complexe]]. Alors

\begin{enumerate} \item Pour tous $x,y \in E$,
\[ \Re (\langle x,y\rangle ) = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 . \]
\item Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une [[famille orthogonale]], alors
\[ \|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 . \]
\end{enumerate}