Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

• Cas $\mathbb{R}^2$ (triangle)
  Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors
  $$BC^2 = AB^2 + AC^2.$$Réciproquement, si
  $$BC^2 = AB^2 + AC^2,$$alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

C’est le cas particulier du théorème ci-dessous, obtenu en posant $x = \overrightarrow{AB}$, $y = \overrightarrow{AC}$ dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ usuel : le triangle est rectangle en $A$ signifie $\langle x,y \rangle = 0$, et $BC^2 = \|y-x\|^2$.

• Cas réel
  Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Alors

1. Pour tous $x,y \in E$,
   $$\langle x,y\rangle = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 .$$
2. Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une famille orthogonale, alors
   $$\|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 .$$

• Cas complexe
  Soit $E$ un espace préhilbertien complexe. Alors

1. Pour tous $x,y \in E$,
   $$\operatorname{Re} (\langle x,y\rangle ) = 0 \iff \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 .$$
2. Si $(x_1,\ldots,x_n)$ est une famille orthogonale, alors
   $$\|x_1+\cdots+x_n\|^2 = \|x_1\|^2+\cdots+\|x_n\|^2 .$$