Quand Euclide démontre Pythagore…..

Soit un triangle rectangle $ABC$ rectangle en $A$ . Soient les trois carrrés construits sur les trois côtés du triangle.

Montrer, par un raisonnement de géométrie pure, que l’aire du carré construit sur le côté opposé à l’angle droit du triangle est égale à la somme des aires des deux autres carrés

NB : Ici, le théorème de Pythagore n’est pas un outil : c’est ce qu’il faut établir. Toute la démonstration devra donc reposer sur des arguments géométriques.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 47

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Solution by goldfinch

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Traçons d’abord la parallèle à $(BH)$ passant par A et positionnons les deux intersections $J$ et $K$ avec respectivement $(BC)$ et $(HI)$ .

Le mouvement général de la démonstration est constitué de trois étapes consistant à montrer que l’aire du rectangle $[BJKH]$ est égale à l’aire du carré $[ABED]$ , puis à montrer que l’aire du rectangle $[JCIK]$ est égale à l’aire du carré $[ACFG]$ , pour ensuite en déduire la relation de Pythagore.

Par définition du triangle rectangle et du carré, les angles $\widehat {BAC}$ et $\widehat {BAD}$ sont tous deux égaux à un angle droit ; on peut en conclure que les deux segments $[AC]$ et $[AD]$ font partie de la même droite (pour la démonstration de ce point, voir le problème Quand des segments se rencontrent....) .
Il en est de même pour $[BA]$ et $[AG]$ .

Considérons maintenant les deux triangles $ABH$ et $EBC$ . L’angle $\widehat {ABH}$ est égal à la somme de $\widehat {ABC}$ et d’un angle droit. De même, l’angle $\widehat {EBC}$ est égal à la somme de $\widehat {ABC}$ et d’un angle droit. Par conséquent les deux angles sont égaux : $\bf \widehat {ABH}=\widehat {EBC}$ (1)

Ces deux triangles ont aussi deux côtés égaux deux à deux : les côtés $BE$ et $BC$ du triangle $EBC$ sont respectivement égaux aux côtés $AB$ et $BH$ . Or, dans une telle configuration de deux triangles avec deux côtés égaux deux à deux et un angle commun en mesure comme vu avec (1), on peut prouver que les deux triangles ont tous leurs côtés et tous leurs angles égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux côtés, un angle : tout est fixé pour le triangle). Ainsi ces deux triangles ont la même aire :
$\bf [EBC]=[ABH]$ (2)

Considérons maintenant le carré $ABED$ et le triangle (EBC). Ils sont construits sur une base commune $[EB]$ et ils sont construits entre les mêmes parallèles $(EB)$ et $(DC)$ . Dans cette configuration, nous pouvons prouver que l’aire du carré vaut deux fois l’aire du triangle (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle et un parallélogramme ayant une base commune), soit :
$\bf [ABED]=2\times {[EBC]}$ (3)

Un raisonnement analogue peut être fait avec le carré $BJKH$ et le triangle $ABH$ , qui ont une même base $[BH]$ et qui sont construits entre les mêmes parallèles $(BH)$ et $(AK)$ $ . On en déduit comme précédemment :
$\bf [BJKH]=2\times {[ABH]}$ (4)

Le couplage de (4) et (2) nous donne : $[BJKH]=2\times {[EBC]}$
Ce qui , couplé avec (3) nous donne :
$\bf [ABED]=[BJKH]$ (5)

Le raisonnement pour la deuxième étape est exactement le même, en considérant maintenant le carré $[AGFC]$ et les deux triangles $FBC$ et $ACI$ .

Nous ne donnerons que les principales égalités de la démonstration qui est en tous points identique à la précédente.
$\bf \widehat {ACI}=\widehat {FCB}$ (1’)

                                                                                      $\bf [FCB]=[ACI]$                                             (2’)

                                                                                     $\bf [ACFG]=2\times {[FCB]}$                                   (3’)

                                                                                       $\bf [CJKI]=2\times {[ACI]}$                                    (4’)

Le couplage de (4’) et (2’) nous donne : $[CJKI]=2\times {[FCB]}$

Ce qui , couplé avec (3’) nous donne : $\bf [ACFG]=[CJKI]$ (5’)

Il est alors aisé de conclure en utilisant (5) et (5’) :
$\bf [BJKH]+[CJKI]=[ABED]+[ACFG]$

D’où vient : $\bf [BCIH]=[ABED]+[ACFG]$ , ce qu’il fallait démontrer

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