Quand des segments se rencontrent....

Soit un segment $[AB]$ . Supposons que deux segments $[BC]$ et $[BD]$ se rencontrant en B fassent chacun un angle droit avec $[AB]$ . Montrer que $[BC]$ et $[BD]$ appartiennent à la même droite.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 14

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Solution by goldfinch

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Par hypothèse les deux segments $[BC]$ et $[BD]$ font chacun un angle droit avec [AB]. Par conséquent la somme $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}$ est égale à deux angles droits.

Effectuons un raisonnement par l’absurde .

Supposons que les segments $[BC]$ et $[BD]$ n’appartiennent pas à la même droite. Nous pouvons donc construire un point $E$ se situant dans le prolongement de $[BC]$ de l’autre côté de $[AB]$ . Dans notre cas de figure où $[BE]$ est au-dessus de $[BD]$ , nous avons $\widehat{ABD}>\widehat{ABE}$ .

Par ailleurs, nous pouvons montrer que la somme des angles $\widehat{ABC}+\widehat{ABE}$ est égale à deux angles droits (pour la démonstration de ce point, voir problème une propriété des angles adjacents et supplémentaires).

Nous pouvons donc en déduire que $\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{ABE}$ , d’où $\widehat{ABD}=\widehat{ABE}$ . Ceci est en contradiction avec $\widehat{ABD}>\widehat{ABE}$ .

Donc les segments $[BC]$ et $[BD]$ doivent appartenir à la même droite.

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