Une propriété des angles adjacents et supplémentaires

Soit une droite $(AB)$ coupant une droite $(CD)$ en $B$ . Montrer que la somme des angles adjacents et supplémentaires $\widehat {ABC}$ et $\widehat {ABD}$ est égale à la somme de deux angles droits.

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Euclide — Éléments

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Livre 1 . Proposition 13

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Solution by goldfinch

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Deux cas sont à distinguer : le cas où $(AB)$ est perpendiculaire à $(CD)$ et le cas où $(AB)$ n’est pas perpendiculaire à $(CD)$

Si $(AB)$ est perpendiculaire à $(CD)$ , par définition de l’angle droit, les deux angles sont droits, et donc le fait que la somme est égale à deux angles droits est vérifiée.

Si $(AB)$ n’est pas perpendiculaire à $(CD)$ , tracer la droite $(BE)$ perpendiculaire à $(CD)$ (pour cette construction, voir problème Construction géométrique d’une droite perpendiculaire à une autre droite (1)). Par définition, les angles $\widehat {CBE}$ et $\widehat {DBE}$ sont droits.
Or l’angle plat $\widehat {CBD}$ est constitué à la fois de la somme des angles $\widehat {CBA}$ et $\widehat {DBA}$ , et de la somme des angles $\widehat {CBE}$ et $\widehat {DBE}$ , donc la somme de $\widehat {CBA}$ et $\widehat {DBA}$ est bien égale à la somme de deux angles droits

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