Construction géométrique d'une droite perpendiculaire à une autre droite (1)

Soit une droite $(AB)$ contenant un point $C$ . Proposer à la règle et au compas collapsible une méthode de construction d’une droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1, proposition 11

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Solution by goldfinch

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Positionner un point $D$ quelconque entre $A$ et $C$ , puis construire le point $E$ entre $C$ et $B$ tel que $DC=CE$ (pour cette construction, voir problème Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2))

Construire ensuite le point $F$ au-dessus de $(AB)$ tel que $DFE$ soit un triangle équilatéral (pour cette construction, voir problème Méthode pour construire un triangle équilatéral )

Les deux triangles $DFC$ et $CFE$ ont leurs trois côtés égaux un à un : $DC=CE$ par définition, $DF=FE$ par construction et le troisième côté $CF$ est commun aux deux. Deux triangles ayant trois côtés égaux un à un ont aussi leurs angles égaux un à un (pour cette démonstration, voir problème Triangles dont les longueurs des côtés sont égales )
En particulier, les deux angles en C sont égaux : $\widehat {DCF}=\widehat {FCE}$ . Or, la définition d’ un angle droit en géométrie euclidienne correspond justement à la situation où quand deux lignes droites se croisent, les angles de part et d’autre sont égaux (voir définition angle droit).

Donc la droite $(CF)$ est bien la perpendiculaire à $(AB)$ en $C$ .

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