Comment reporter une longueur sur un segment

Soit deux segments $[GA]$ et $[BC]$ avec $[BC]$ plus long que $[GA]$ .
On cherche à construire, à la règle et au compas collapsible, un point $E$ appartenant à $[BC]$ tel que
$BE= GA$

Construire d’abord un point D tel que $BD=AG$ (pour cette construction, voir le problème comment reporter une longueur en un point).
Construire ensuite au compas collapsible le point $E$ sur BC tel que $BE=GA$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1

Proposition 3.

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Solution by goldfinch

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La méthode de construction du point $D$ tel que $BD=GA$ est celle évoquée dans le problème Comment reporter une longueur en un point .

Noter que toutes les constructions intermédiaires sont à nouveau représentées sur la figure ci-dessous : point F tel que le triangle $GBF$ soit équilatéral, $H$ intersection du cercle de centre $G$ et de rayon $GA$ avec $(FG)$ , $D$ intersection du cercle de centre $F$ et de rayon $FH$ avec $(FB)$ .

Une fois que le segment $[BD]$ est construit, il est aisé de positionner le point $E$ , intersection de $(BC)$ avec le cercle de centre $B$ et de rayon $BD=GA$

Par cette construction, nous avons donc bien reporté la longueur $GA$ sur le segment $[BC]$ en B

Notons que l’ensemble de la construction s’est faite uniquement avec des tracés de droite (à la règle non graduée) et des tracés de cercle avec un compas collapsible.

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