Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2)

Soit deux segments $GA$ et $BC$ avec $BC$ plus long que $GA$ . Nous allons nous intéresser à la manière dont on peut construire le point $E$ appartenant à $BC$ tel que $BE= GA$, ceci avec une méthode de construction dite à la règle et au compas collapsible (à la manière d’Euclide - cf NB ci-dessous).

1. Construire d’abord un segment $BD$ égal à $GA$ , ceci de la façon suivante (cette méthode a fait l’objet d’un autre problème "Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (1)"

Positionner à la règle et au compas un point $F$ tel que le triangle $FGB$ soit équilatéral.
(NB : cette question fait l’objet du problème "méthode pour construire un triangle équilatéral"

Soit $GH$ un rayon du cercle de centre $G$ et de rayon $GA$, issu de $F$
Soit $BD$ un rayon du cercle de centre $B$ et de rayon $BE$, issu de $F$
Montrer que $BD=GA$.

2. Construire le point $E$ sur BC tel que $BE=GA$

• NB : Euclide, qui a proposé cette démarche dans les Eléments, n’utilise jamais la technique du report de longueur avec un compas, autrement dit il utilise ce qu’on appelle un compas "collapsible" qui se referme quand on le lève, ceci dans le but de fonder toute sa géométrie uniquement sur un système axiomatique, indépendant des outils utilisés