Comment reporter une longueur en un point

Soit un segment $[BC]$ et un point $A$ n’appartenant pas à la droite $(BC)$ .
Nous allons nous intéresser à la manière dont on peut reporter, à la règle non graduée et au compas collapsible, la longueur du segment $[BC]$ vers le point $A$ .

Positionner d’abord à la règle non graduée et au compas collapsible un point $D$ tel que le triangle $CDA$ soit équilatéral.
(NB : cette question fait l’objet du problème "méthode pour construire un triangle équilatéral")
Construire le point $E$ sur la demi-droite $(DC)$ tel que $CE=BC$
NB : ce point peut être construit avec un compas collapsible
Construire le point $F$ sur la demi-droite $(DA)$ tel que $DF=DE$ .
NB : ce point peut être construit avec un compas collapsible
Montrer que $AF=BC$ , et donc que cette méthode de construction du point $F$ a bien permis de reporter la longueur du segment $[BC]$ au point $A$ .

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SarahK(roche:)@sarah-k

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Euclide — Éléments

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Livre 1 Proposition 2

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Solution by goldfinch

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Construction du point $D$ au-dessus de $[CA]$ tel que le triangle $CAD$ soit équilatéral (pour cette construction, voir le problème Méthode pour construire un triangle équilatéral).

Construction du point $E$ , intersection du cercle de centre $C$ et de rayon $CB$ , et de la droite $(DC)$ , de manière à ce que $DE=DC+CE=CA+BC$

Construction du point $F$ , intersection du cercle de centre $D$ et de rayon $DE$ , et de la droite $(DA)$ , de manière à ce que $DF=DE=CA+BC$

Nous avons donc bien $AF=BC$ et la longueur du segment $[BC]$ a bien été reportée en A par cette construction. Cette technique utilisant un triangle équilatéral comme intermédiaire pour reporter des longueurs est très largement utilisée dans les Eléments d’Euclide.

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