Un triangle et un parallélogramme ayant une base commune

Soient un parallélogramme $ABCD$ et un triangle $EBC$ qui, d’une part, ont une base commune $[BC]$ et, d’autre part, sont construits entre les mêmes parallèles $(BC)$ et $(AE)$ .

Montrer l’égalité suivante entre les aires : $[ABCD]=2\times [EBC]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons la notation $[ABC]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 41

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Solution by goldfinch

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En coupant le parallélogramme $ABCD$ en deux avec la diagonale $[AC]$ , nous obtenons deux triangles dont tous les côtés et tous les angles deux à deux sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux), et donc $[ABC]=[ADC]$ .
Ainsi : $\bf [ABCD]=2\times {[ABC]}$ (1)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $EBC$ . Ils ont une base commune $[BC]$ et ils sont construits entre les mêmes parallèles. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que les aires des deux triangles sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux triangles : même base, même aire), soit :
$\bf [ABC]=[EBC]$ (2)

En couplant (1) et (2), nous obtenons bien l’égalité des aires $\bf [ABCD]=2\times [EBC]$ , ce qu’il fallait démontrer.

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