Deux triangles : même base, même aire

Soient 2 triangles $ABC$ et $BDC$ qui , d’une part, ont une même base $[BC]$ , et d’autre part, sont construits entre les mêmes parallèles $(BC)$ et $(EF)$ .

Montrer que les aires des deux triangles sont égales : $\bf [ABC]=[DBC]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons la notation $[ABC]$ pour noter l’aire du triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 37

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Solution by goldfinch

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Construisons les point $G$ sur la droite $(EF)$ tel que $(BG)$ soit parallèle à $(CA)$ , et H sur la droite $(EF)$ tel que $(CH)$ soit parallèle à $(BD)$ .
Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes, $ACBG$ et $DHCB$ .

Ces deux parallélogrammes ont une base commune $[BC]$ et sont construits entre les mêmes parallèles $(EF)$ et $(BC)$ , donc leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux parallélogrammes : même base, même aire), soit : $\bf [ACBG]=[DHCB]$ (1)

Nous pouvons aussi montrer que la diagonale $[AB]$ coupe le parallélogramme $ACBG$ en deux triangles $ABG$ et $ABC$ dont tous les côtés sont égaux deux à deux, et dont les angles sont égaux deux à deux aussi (pour la démonstration de ce point, voir problème Un parallélogramme coupé en deux), donc les aires de ces deux triangles sont égales : $[ABG]=[ABC]$ .

Ceci, couplé avec (1), nous donnera : $\bf [ABC]=1/2\times [ACBG]$ (2)

Il en est de même si on coupe le parallélogramme $DHBC$ en deux triangles, avec la diagonale $[DC]$ . Un raisonnement analogue nous conduit à l’égalité des aires des deux triangles : $[DBC]=[DHC]$ et donc à :
$\bf [DBC]=1/2\times [DHCB]$ (3)

Avec (1) ,(2) et (3), nous obtenons bien l’égalité des triangles à démontrer : $\bf [ABC]=[DBC]$

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