Un parallélogramme coupé en deux

Par définition du parallélogramme, $(AB)$ est parallèle à $(CD)$, et $(AC)$ est parallèle à $(BD)$.

En considérant les deux droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ coupées par la diagonale $(BC)$, nous pouvons montrer que les angles alternes-internes $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BCD}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des parallèles aux angles), soit : $\bf \widehat {ABC}=\widehat {BCD}$ (1)

Il en est de même pour les angles $\widehat {ACB}$ et $\widehat {CBD}$ en considérant les deux parallèles $(AC)$ et $(BD)$ coupées par la diagonale $(BC)$, donc on aura : $\bf \widehat {ACB}=\widehat {CBD}$. (2)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $BCD$. Ils ont un côté commun $BC$ et deux angles communs comme nous venons de le voir. Cette configuration est suffisante pour dire que tous les côtés et tous les angles des deux triangles sont égaux un à un (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux angles, un côté : tout est fixé pour le triangle).

Ainsi nous avons en particulier les égalités des côtés des triangles suivantes : $\bf AB=CD$ et $\bf AC=BD$, ce qui constituait le premier point à démontrer.

L’égalité des trois angles des deux triangles, un à un, nous donne en particulier : $\bf \widehat {CAB}=\widehat {CDB}$ (3).

Comme, de plus nous avons aussi l’égalité des angles (1) et (2), nous aurons aussi l’égalité de la somme de ces angles : $\bf \widehat {ABD}=\widehat {ACD}$ (4).

Avec (3) et (4), nous avons donc démontré l’égalité des angles opposés du parallélogramme, ce qui constituait le deuxième point.