Des parallèles aux angles

1. il s’agit de montrer l’égalité $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHD}$, nous allons montrer l’impossibiltés des deux hypothèses $\bf \widehat {AGH}<\widehat {GHD}$ et $\bf \widehat {AGH}>\widehat {GHD}$

Si par exemple $\bf \widehat {AGH}<\widehat {GHD}$, alors on aura aussi $\bf \widehat {AGH}+\widehat {GHC}<\widehat {GHD}+\widehat {GHC}$.

Or $\bf \widehat {GHD}$ et $\bf \widehat {GHC}$, qui sont deux angles adjacents et supplémentaires ont la somme des mesures de leurs angles qui est égale à la somme de deux angles droits (Pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des angles adjacents et supplémentaires).
Par conséquent la somme des mesures des deux angles $\bf \widehat {AGH}$ et $\bf \widehat {GHC}$ sera inférieure à la somme de deux angles droits.

Or le $\textbf {5ème postulat d’Euclide}$ nous dit que : Si une ligne droite tombant sur deux autres lignes droites fait les angles intérieurs d’un même côté plus petits que deux droits, ces lignes, étant prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits}.
Pour notre configuration, nous pouvons en déduire que les deux droites $(AB)$ et $(CD)$ auront donc un point d’intersection, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de parallélisme.

Le traitement du cas $\bf \widehat {AGH}>\widehat {GHD}$ est identique à celui du cas précédent en considérant dans le 5ème postulat d’Euclide les angles intérieurs situés de l’autre côté.

2. Il s’agit de montrer l’égalité $\bf \widehat {EGB}=\widehat {GHD}$.

La partie 1. ci-dessus a démontré que $\bf \widehat {AGH}=\widehat {GHD}$.

Par ailleurs, les angles opposés au sommet $\bf \widehat {EGB}$ et $\bf \widehat {AGH}$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des angles opposés au sommet), donc nous en concluons que $\bf \widehat {EGB}=\widehat {GHD}$, ce qu’il fallait démontrer.

3. Il s’agit de montrer que la sommes des mesures de $\bf \widehat {AGH}$ et $\bf \widehat {GHC}$ est égale à la somme des mesures de deux angles droits.

Dans le cas contraire, nous serions dans la configuration du $\textbf {5ème postulat d’Euclide}$ qui stipule que dans ce cas les droites $(AB)$ et $(CD)$ se couperaient, ce qui est en contradiction avec l’hypothèse du parallélisme.