Deux triangles : même base, même aire

Construisons les point $G$ sur la droite $(EF)$ tel que $(BG)$ soit parallèle à $(CA)$, et H sur la droite $(EF)$ tel que $(CH)$ soit parallèle à $(BD)$.
Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes, $ACBG$ et $DHCB$.

Ces deux parallélogrammes ont une base commune $[BC]$ et sont construits entre les mêmes parallèles $(EF)$ et $(BC)$, donc leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux parallélogrammes : même base, même aire), soit : $\bf [ACBG]=[DHCB]$ (1)

Nous pouvons aussi montrer que la diagonale $[AB]$ coupe le parallélogramme $ACBG$ en deux triangles $ABG$ et $ABC$ dont tous les côtés sont égaux deux à deux, et dont les angles sont égaux deux à deux aussi (pour la démonstration de ce point, voir problème Un parallélogramme coupé en deux), donc les aires de ces deux triangles sont égales : $[ABG]=[ABC]$ .

Ceci, couplé avec (1), nous donnera : $\bf [ABC]=1/2\times [ACBG]$ (2)

Il en est de même si on coupe le parallélogramme $DHBC$ en deux triangles, avec la diagonale $[DC]$. Un raisonnement analogue nous conduit à l’égalité des aires des deux triangles : $[DBC]=[DHC]$ et donc à :
$\bf [DBC]=1/2\times [DHCB]$ (3)

Avec (1) ,(2) et (3), nous obtenons bien l’égalité des triangles à démontrer : $\bf [ABC]=[DBC]$