Deux parallélogrammes : même base, même aire

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux (pour cette démonstration, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux), donc ici, en particulier $AD=BC$ et $EF=BC$ . On en déduit d’une part$EF=AD$, et, d’autre part, en rajoutant à chaque membre de l’égalité la longueur $DE$, on a aussi $\bf AE=DF$ (1)

Par ailleurs, $(AB)$ étant parallèle à $(DC)$, on a égalité des angles $\bf \widehat {DAB}=\widehat {EDC}$ (2) (pour la démonstration de ce point, voir le problème Des parallèles aux angles).

Considérons maintenant les deux triangles $BAE$ et $CDF$. Ils ont deux côtés égaux deux à deux $AB=DC$ et $AE=DF$ (1), et ils ont ont aussi un angle égal comme vu avec (2). Dans cette configuration, on peut montrer que les deux triangles auront tous leurs côtés et tous leurs angles égaux deux à deux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux côtés, un angle : tout est fixé pour le triangle).
Ces deux triangles superposables ont la même aire : $[BAE]=[CDF]$.

Nous pouvons ensuite retrancher à ces deux aires, l’aire du petit triangle GDE qui est commune aux deux triangles, et nous obtenons une égalité d’aire de deux trapèzes : $[BADG]=[CGEF]$.

Nous pouvons rajouter à ces deux aires de trapézes l’aire du triangle $BGC$ :
$[BADG]+[BGC]=[CGEF]+[BGC]$
Ce qui permet pour obtenir l’égalité des deux aires de parallélogrammes $[ABCD]=[EBCF]$, ce qu’il fallait démontrer.