Egalité de triangles

Soient deux triangles $ABC$ et $DEF$ tels que
$AB=DE,\qquad AC=DF$ et
$\widehat{BAC}=\widehat{EDF}.$

Montrer que leurs troisièmes côtés sont égaux :
$BC=EF,$ et que leurs autres angles sont également égaux :
$\widehat{ABC}=\widehat{DEF} \qquad\text{et}\qquad \widehat{ACB}=\widehat{DFE}.$

En déduire que les deux triangles sont superposables.

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Euler@euler

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Euclide — Éléments

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Livre 1

Proposition 4, théorème 1.

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Solution by goldfinch

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Ce premier théorème du Livre 1 des Elements d’Euclide semble évident a priori : "ça se voit" est -on tenté de dire. Euclide le démontre pas à pas en disant que :

Si l’on pose le côté DE sur AB (opération que l’on peut faire car les deux côtés ont mêmes longueurs), alors forcément les points D et F seront superposés aux points A et C, étant donné que les angles aux sommets A et D sont égaux et que les longueurs AC et DF sont égales.
Les points des deux triangles vont donc tous correspondre , induisant ainsi le fait que leur base est commune, que les trois angles sont égaux et qu’in fine il s’agit bien de triangles superposables.

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