Un triangle et un parallélogramme ayant une base commune

En coupant le parallélogramme $ABCD$ en deux avec la diagonale $[AC]$, nous obtenons deux triangles dont tous les côtés et tous les angles deux à deux sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux), et donc $[ABC]=[ADC]$.
Ainsi : $\bf [ABCD]=2\times {[ABC]}$ (1)

Considérons maintenant les deux triangles $ABC$ et $EBC$. Ils ont une base commune $[BC]$ et ils sont construits entre les mêmes parallèles. Dans cette configuration, nous pouvons montrer que les aires des deux triangles sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux triangles : même base, même aire), soit :
$\bf [ABC]=[EBC]$ (2)

En couplant (1) et (2), nous obtenons bien l’égalité des aires $\bf [ABCD]=2\times [EBC]$, ce qu’il fallait démontrer.