Théorème des résidus
Concept history
A revision trail for this concept page.
Revision 1875
8/21/2026, 1:16:15 PM · Sequoia
Concept reviewed
statusUsableReviewed
Revision 1873
8/21/2026, 1:16:13 PM · Sequoia
Updated linked exercises
linked exercisesNoneQuelques calculs de résidus
Revision 1870
8/21/2026, 1:10:05 PM · Sequoia
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 1868
8/21/2026, 1:07:30 PM · Sequoia
Updated text
Compare with revision 181721 changed lines
1
##### Intuition2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin.2
Le théorème des résidus affirme que l'[[intégrale sur un chemin|intégrale sur un chemin]] fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin. C'est un théorème qui permet, à partir de la simple connaissance des pôles d'une fonction, de calculer des intégrales complexes.3
4
5
##### Enoncé du théorème6
Soit $f$ une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$6
Soit $f$ une fonction [[Fonction méromorphe|méromorphe]] sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec $n$ pôles isolés distincts notés les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un [[Chemin dans un espace|chemin]] continu ne passant par aucun pôle et tel que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a :8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.8
$$\int_{\gamma}f=2i\pi\sum_{k=1}^n Ind(\gamma,p_{k})\cdot Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p_k)$$9
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de $p$ (son [[indice|indice]]) comptés dans le [[sens trigonométrique|sens trigonométrique]], potentiellement nul si l'intérieur de $\gamma$ ne contient aucun pôle, et 10
$$Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p):=[(z-p)^{-1}]f(z)$$11
le coefficient devant le terme en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f au voisinage de $p$.9
10
##### Exemples :11
$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$14
$\bullet$ Prenons $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a15
$$\int_{\gamma}\sin(z)\mathrm{d}z=0$$16
car $\sin$ n'a pas de pôle dans l'intérieur du cercle unité tracé par $\gamma$.17
$\bullet$ Soit maintenant $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{-4i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a18
$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=-4i\pi$$19
car $z\longmapsto \frac{1}{z}$ possède un pôle en $0$ autour duquel $\gamma$ tourne $2$ fois dans le sens anti-horaire. Cela rajoute un facteur $-2$ au $2i\pi$.20
$\bullet$ On considère ici $\gamma: t\in [0,1] \mapsto 1+e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$ qui tourne autour de $1$ dans le sens horaire. On a alors21
$$\int_{\gamma}\frac{1}{e^z-e}\mathrm{d}z=2i\pi e^{-1}$$22
car $\displaystyle\frac{1}{e^z-e}$ se développe comme $\displaystyle\frac{e^{-1}}{z-1}+o\left(\frac{1}{z-1}\right)$ quand $z$ tend vers $1$.Revision 1817
8/20/2026, 8:31:25 PM · Ancient Tree
Updated title and text
titleThéorème des RésidusThéorème des résidus
Compare with revision 162612 changed lines
1
## 1
##### Intuition2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin.3
4
5
## Définition formelle5
##### Enoncé du théorème6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$6
Soit $f$ une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.9
## Exemples :$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$9
10
##### Exemples :11
$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$Revision 1626
8/19/2026, 6:29:59 AM · Cypress
Updated text
Compare with revision 16244 changed lines
1
## 2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.3
4
5
## Définition formelle6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.9
## Exemples9
## Exemples :$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$10
•Pour11
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$Revision 1624
8/19/2026, 5:59:38 AM · Cypress
Updated text
Compare with revision 16232 changed lines
1
## 2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.3
4
5
## Définition formelle6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.9
## Exemples10
•Pour11
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$Revision 1623
8/19/2026, 5:55:58 AM · Cypress
Updated text
Compare with revision 16162 changed lines
1
## 2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.3
4
5
## Définition formelle6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f9
## Exemples10
•Pour11
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$Revision 1616
8/18/2026, 11:44:08 PM · Cypress
Updated text
Compare with revision 15974 changed lines
1
## 2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.3
4
5
## Définition formelle6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$8
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f9
## Exemples10
•Pour11
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{ On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0$$11
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$Revision 1597
8/18/2026, 7:37:15 PM · Cypress
Updated text
Compare with revision 15953 changed lines
1
## 2
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.3
4
5
## Définition formelle6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert6
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$7
$U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$8
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$9
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f10
## Exemples11
•Pour12
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{ On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0$$Revision 1595
8/18/2026, 7:36:38 PM · Cypress
Concept created
##
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.
## Définition formelle
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert
$U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$
On définit $\gamma :[0,1] \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f
## Exemples
•Pour
$\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{ On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0$$