Théorème des résidus

Concept history

A revision trail for this concept page.

15 revisions

Back

Revision 6995

10/10/2026, 2:59:55 PM · Sequoia

Concept re-reviewed after edits

review state~~Review needed after an edit~~Up to date

Revision 6994

10/10/2026, 2:58:19 PM · Sequoia

Updated text and review state

review state~~Up to date~~Review needed after an edit

Compare with revision 69784 changed lines

1##### Intuition

Le théorème des résidus affirme que l'[[intégrale sur un chemin|intégrale sur un chemin]] fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin. C'est un théorème qui permet, à partir de la simple connaissance des pôles d'une fonction, de calculer des intégrales complexes.

5##### Enoncé du théorème

Soit $f$ une fonction [[Fonction méromorphe|méromorphe]] sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec $n$ pôles isolés distincts notés $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$.

On définit un [[Chemin dans un espace|chemin]] continu $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ ne passant par aucun pôle et tel que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a :

8$$\int_{\gamma}f(z)\diff z=2\mathrm{i}\pi\sum_{k=1}^n \operatorname{Ind}(\gamma,p_{k})\cdot \operatorname{Res}(f,p_k)$$

$$\int_{\gamma}f(z)\diff z=2\mathrm{i}\pi\sum_{k=1}^n \operatorname{Ind}(\gamma,p_{k})\cdot \operatorname{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,p_k)$$

Avec $\operatorname{Ind}(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de $p$ (son [[indice|indice]]) comptés dans le [[sens trigonométrique|sens trigonométrique]], potentiellement nul si l'intérieur de $\gamma$ ne contient aucun pôle, et

10$$\operatorname{Res}(f,p)$$

10$$\operatorname{Res}(f(z)\,\mathrm{d}z,p)$$

le coefficient devant le terme en $\dfrac{1}{z-p}$ dans le développement en série de Laurent de la fonction $f$ au voisinage de $p$.

13##### Exemples :

14$\bullet$ Prenons $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a

15$$\int_{\gamma}\sin(z)\mathrm{d}z=0$$

16car $\sin$ n'a pas de pôle dans l'intérieur du cercle unité tracé par $\gamma$.

17$\bullet$ Soit maintenant $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{-4i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a

18$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=-4i\pi$$

car $z\longmapsto \frac{1}{z}$ possède un pôle en $0$ autour duquel $\gamma$ tourne $2$ fois dans le sens anti-horaire. Cela rajoute un facteur $-2$ au $2i\pi$.

$\bullet$ On considère ici $\gamma: t\in [0,1] \mapsto 1+e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$ qui tourne autour de $1$ dans le sens horaire. On a alors

21$$\int_{\gamma}\frac{1}{e^z-e}\mathrm{d}z=2i\pi e^{-1}$$

car $\displaystyle\frac{1}{e^z-e}$ se développe comme $\displaystyle\frac{e^{-1}}{z-1}+o\left(\frac{1}{z-1}\right)$ quand $z$ tend vers $1$.

Revision 6978

10/10/2026, 12:37:08 PM · Ancient Tree

Concept re-reviewed after edits

review state~~Review needed after an edit~~Up to date

Revision 6935

10/9/2026, 10:23:32 AM · quark67

Quelques petites corrections (voir la discussion liée)

review state~~Up to date~~Review needed after an edit

Compare with revision 187512 changed lines

1##### Intuition

Le théorème des résidus affirme que l'[[intégrale sur un chemin|intégrale sur un chemin]] fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin. C'est un théorème qui permet, à partir de la simple connaissance des pôles d'une fonction, de calculer des intégrales complexes.

5##### Enoncé du théorème

Soit $f$ une fonction [[Fonction méromorphe|méromorphe]] sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec $n$ pôles isolés distincts notés les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

Soit $f$ une fonction [[Fonction méromorphe|méromorphe]] sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec $n$ pôles isolés distincts notés $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$.

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un [[Chemin dans un espace|chemin]] continu ne passant par aucun pôle et tel que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a :

On définit un [[Chemin dans un espace|chemin]] continu $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ ne passant par aucun pôle et tel que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a :

8$$\int_{\gamma}f=2i\pi\sum_{k=1}^n Ind(\gamma,p_{k})\cdot Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p_k)$$

8$$\int_{\gamma}f(z)\diff z=2\mathrm{i}\pi\sum_{k=1}^n \operatorname{Ind}(\gamma,p_{k})\cdot \operatorname{Res}(f,p_k)$$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de $p$ (son [[indice|indice]]) comptés dans le [[sens trigonométrique|sens trigonométrique]], potentiellement nul si l'intérieur de $\gamma$ ne contient aucun pôle, et

Avec $\operatorname{Ind}(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de $p$ (son [[indice|indice]]) comptés dans le [[sens trigonométrique|sens trigonométrique]], potentiellement nul si l'intérieur de $\gamma$ ne contient aucun pôle, et

10$$Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p):=[(z-p)^{-1}]f(z)$$

10$$\operatorname{Res}(f,p)$$

le coefficient devant le terme en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f au voisinage de $p$.

le coefficient devant le terme en $\dfrac{1}{z-p}$ dans le développement en série de Laurent de la fonction $f$ au voisinage de $p$.

13##### Exemples :

14$\bullet$ Prenons $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a

15$$\int_{\gamma}\sin(z)\mathrm{d}z=0$$

16car $\sin$ n'a pas de pôle dans l'intérieur du cercle unité tracé par $\gamma$.

17$\bullet$ Soit maintenant $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{-4i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a

18$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=-4i\pi$$

car $z\longmapsto \frac{1}{z}$ possède un pôle en $0$ autour duquel $\gamma$ tourne $2$ fois dans le sens anti-horaire. Cela rajoute un facteur $-2$ au $2i\pi$.

$\bullet$ On considère ici $\gamma: t\in [0,1] \mapsto 1+e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$ qui tourne autour de $1$ dans le sens horaire. On a alors

21$$\int_{\gamma}\frac{1}{e^z-e}\mathrm{d}z=2i\pi e^{-1}$$

car $\displaystyle\frac{1}{e^z-e}$ se développe comme $\displaystyle\frac{e^{-1}}{z-1}+o\left(\frac{1}{z-1}\right)$ quand $z$ tend vers $1$.

Revision 1875

8/21/2026, 1:16:15 PM · Sequoia

Concept reviewed

status~~Usable~~Reviewed

Revision 1873

8/21/2026, 1:16:13 PM · Sequoia

Updated linked exercises

linked exercises~~None~~Quelques calculs de résidus

Revision 1870

8/21/2026, 1:10:05 PM · Sequoia

Concept marked usable

status~~Stub~~Usable

Revision 1868

8/21/2026, 1:07:30 PM · Sequoia

Updated text

Compare with revision 181721 changed lines

1##### Intuition

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin.

Le théorème des résidus affirme que l'[[intégrale sur un chemin|intégrale sur un chemin]] fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin. C'est un théorème qui permet, à partir de la simple connaissance des pôles d'une fonction, de calculer des intégrales complexes.

5##### Enoncé du théorème

Soit $f$ une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

Soit $f$ une fonction [[Fonction méromorphe|méromorphe]] sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec $n$ pôles isolés distincts notés les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un [[Chemin dans un espace|chemin]] continu ne passant par aucun pôle et tel que $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a :

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.

8$$\int_{\gamma}f=2i\pi\sum_{k=1}^n Ind(\gamma,p_{k})\cdot Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p_k)$$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de $p$ (son [[indice|indice]]) comptés dans le [[sens trigonométrique|sens trigonométrique]], potentiellement nul si l'intérieur de $\gamma$ ne contient aucun pôle, et

10$$Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p):=[(z-p)^{-1}]f(z)$$

le coefficient devant le terme en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f au voisinage de $p$.

10##### Exemples :

$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

14$\bullet$ Prenons $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a

15$$\int_{\gamma}\sin(z)\mathrm{d}z=0$$

16car $\sin$ n'a pas de pôle dans l'intérieur du cercle unité tracé par $\gamma$.

17$\bullet$ Soit maintenant $\gamma: t\in [0,1] \mapsto e^{-4i\pi t}\in \mathbb{C}$, on a

18$$\int_{\gamma}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=-4i\pi$$

car $z\longmapsto \frac{1}{z}$ possède un pôle en $0$ autour duquel $\gamma$ tourne $2$ fois dans le sens anti-horaire. Cela rajoute un facteur $-2$ au $2i\pi$.

$\bullet$ On considère ici $\gamma: t\in [0,1] \mapsto 1+e^{2i\pi t}\in \mathbb{C}$ qui tourne autour de $1$ dans le sens horaire. On a alors

21$$\int_{\gamma}\frac{1}{e^z-e}\mathrm{d}z=2i\pi e^{-1}$$

car $\displaystyle\frac{1}{e^z-e}$ se développe comme $\displaystyle\frac{e^{-1}}{z-1}+o\left(\frac{1}{z-1}\right)$ quand $z$ tend vers $1$.

Revision 1817

8/20/2026, 8:31:25 PM · Ancient Tree

Updated title and text

title~~Théorème des Résidus~~Théorème des résidus

Compare with revision 162612 changed lines

1##

1##### Intuition

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une [[fonction méromorphe|fonction méromorphe]] ne dépend que de ses [[Pôle d'une fonction méromorphe|pôles]] compris dans le chemin.

5## Définition formelle

5##### Enoncé du théorème

Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

Soit $f$ une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.

## Exemples :$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

10##### Exemples :

$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

Revision 1626

8/19/2026, 6:29:59 AM · Cypress

Updated text

Compare with revision 16244 changed lines

1##

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.

5## Définition formelle

Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.

9## Exemples

## Exemples :$\text{ Pour :} \\ \gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{- On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

10•Pour

 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

Revision 1624

8/19/2026, 5:59:38 AM · Cypress

Updated text

Compare with revision 16232 changed lines

1##

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.

5## Définition formelle

Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f.

9## Exemples

10•Pour

 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

Revision 1623

8/19/2026, 5:55:58 AM · Cypress

Updated text

Compare with revision 16162 changed lines

1##

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.

5## Définition formelle

6Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles isolés : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f

9## Exemples

10•Pour

 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

Revision 1616

8/18/2026, 11:44:08 PM · Cypress

Updated text

Compare with revision 15974 changed lines

1##

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.

5## Définition formelle

6Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

6Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\subset \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f

9## Exemples

10•Pour

11 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{ On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0$$

 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{- On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0 \\ \text{ - On a aussi,}\int_{\gamma}\frac{dz}{z} = 2i\pi$

Revision 1597

8/18/2026, 7:37:15 PM · Cypress

Updated text

Compare with revision 15953 changed lines

1##

Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.

5## Définition formelle

6Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert

6Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert $U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

7$U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$

On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$

Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f

10## Exemples

11•Pour

12 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{ On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0$$

Revision 1595

8/18/2026, 7:36:38 PM · Cypress

Concept created

## 
Le théorème des résidus affirme que l'intégrale sur un chemin fermé d'une fonction méromorphe ne dépend que de ses pôle compris dans le chemin.


## Définition formelle
Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert
$U\in \mathbb{C}$ avec n pôles : les $(p_{i})_{i\in [\![1,n]\!]}$
On définit $\gamma :[0,1]  \mapsto \mathbb{C}$ un chemin continu avec $\gamma(0)=\gamma(1)$. Alors, on a : $\int_{\gamma}f=\sum_{k=1}^n2i\pi.Ind(\gamma,p_{k}).Res(f,p_k)$
Avec $Ind(\gamma,p)$ le nombre de tour que $\gamma$ fait autour de p et $Res(f,p)$ le coefficient devant le temre en $\frac{1}{z-p}$ dans le developpement en serie de Laurent de la fonction f
## Exemples
•Pour
 $\gamma: [0,1] \mapsto \mathbb{C}\\ t \mapsto e^{i\pi t}\\\text{ On a }\int_{\gamma}sin(z)\mathrm{d}z=0$$