Théorème des résidus

Je remplace
$$\int_{\gamma}f=2i\pi\sum_{k=1}^n Ind(\gamma,p_{k})\cdot Res(f{\color{red}(z)\,\mathrm{d}z},p_k)$$

par

$$\int_{\gamma}f{\color{red}(z)\diff z}=2\mathrm{i}\pi\sum_{k=1}^n \operatorname{Ind}(\gamma,p_{k})\cdot \operatorname{Res}(f,p_k).$$

En effet, le résidu $\operatorname{Res}$ prend comme argument une fonction, pas un truc comme « $f(z)\diff z$ ». J’en profite pour rajouter le « $\diff z$ » dans l’intégrale.

Je mets l’imaginaire $\mathrm{i}$ en caractère droit, comme préconisé par la norme ISO 80000-2 (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/ISO/CEI_80000-2, https://mirrors.ctan.org/macros/latex/contrib/mismath/mismath.pdf et https://tug.org/TUGboat/tb18-1/tb54becc.pdf). Cette norme s’applique plus spécifiquement en science (physique, ingénieurs), sans doute car il ne faut pas confondre le « $\mathrm{i}$ » imaginaire pur du « $i$ » représentant l’intensité du courant, de même qu’il ne faut pas confondre le « $\mathrm{e}$ » de l’exponentielle avec la charge électrique élémentaire « $e$ », mais en maths, $i$ peut aussi être un indice de sommation. Et l’idée est de mettre en caractères droits ce qui est constant (selon le contexte, la fonction $f$ peut avoir 36 définitions, mais la fonction $\cos$ n’en a qu’une), comme le $\diff$ de l’élément différentiel dans une intégrale.

Cela dit, le choix de mettre $\mathrm{i}$ et $\mathrm{e}$ plutôt que $i$ et $e$ sur le site peut faire l’objet d’un débat, d’un choix éditorial. Ou laissé à la libre appréciation des utilisateurs. Écrire $\mathrm{i}$ est plus lent que $i$ (car cela nécessite d’employer \mathrm ou \text), donc je peux comprendre que des utilisateurs vont au plus vite, mais j’ai le temps de faire les corrections si besoin. Il est aussi possible d’imaginer la création des commandes \iu (pour imaginery unit) et \eu (pour ... Euler ? Euler unit ? exponential unit ? ça marche dans les 3 cas) qui raccourciraient beaucoup l’écriture.

J’ai supprimé l’égalité

$$Res(f(z)\,\mathrm{d}z,p):=[(z-p)^{-1}]f(z)$$qui est manifestement fausse. En effet, à gauche (en oubliant $f(z)\diff z$ qui n’a pas de sens, on considère le résidu d’une fonction, pas d’un élément d’intégration), on a le résidu de la fonction $f$ au pôle $p$. Donc ça dépend de $f$ et de $p$ uniquement. À droite, on a $[(z-p)^{-1}]f(z)$ qui dépend très fortement de $z$. C’est un problème majeur pour une égalité d’être indépendant de $z$ à gauche et d’en dépendre fortement à droite.

C’est peut-être

$$\operatorname{Res}(f,p):=a_{-1},\text{ avec }f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}a_{n}(z-p)^n$$qui devait être écrit ?

Mais sans certitude sur cela, je me contente de laisser $\operatorname{Res}(f,p)$ qui de toute façon est décrit à la suite par une phrase.