Ivan Shishkin, Birch Grove

Théorème des restes chinois

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Revision 7656

10/23/2026, 1:01:06 PM · SalixBabylonica

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1##### Théorème des restes chinois
1Soient $n$ et $m$ deux entiers supérieurs ou égaux à 1.
2Alors, on a l'[[Isomorphisme de groupes|isomorphisme]] :
3$$\Z/n\Z\times \Z/m\Z\cong \Z/nm\Z$$
4si et seulement si $n$ et $m$ sont [[entiers premiers entre eux|premiers entre eux]].
6
7##### Remarques
8- En appliquant récursivement le théorème des restes chinois et en utilisant la décomposition d'un entier en facteurs premiers, on obtient :
9Pour $n \in \mathbb{N},$ que l'on décompose par le [[théorème fondamental de l'arithmétique]] :
10\[ n=\prod_{i=1}^{r} p _i^{\alpha_i} \]
11où les $p_i$ sont des nombres premiers deux à deux distincts.
12Alors
13\[ \mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/p_1^{\alpha_1}\mathbb Z \times \cdots \times \mathbb Z/p_r^{\alpha_r}\mathbb Z. \]
14
15Autrement dit, tout groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z$ se décompose canoniquement comme produit de groupes associés aux puissances premières apparaissant dans la décomposition de $n$.

Revision 2177

8/23/2026, 7:49:12 PM · Ancient Tree

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Revision 2172

8/23/2026, 7:38:49 PM · Ancient Tree

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1Soient $n$ et $m$ deux entiers supérieurs ou égaux à 1.
2Alors, on a l'isomorphisme :
2Alors, on a l'[[Isomorphisme de groupes|isomorphisme]] :
3$$\Z/n\Z\times \Z/m\Z\cong \Z/nm\Z$$
4si et seulement si $n$ et $m$ sont [[entiers premiers entre eux|premiers entre eux]].

Revision 2171

8/23/2026, 7:37:20 PM · Ancient Tree

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Soient $n$ et $m$ deux entiers supérieurs ou égaux à 1.
Alors, on a l'isomorphisme :
$$\Z/n\Z\times \Z/m\Z\cong \Z/nm\Z$$
si et seulement si $n$ et $m$ sont [[entiers premiers entre eux|premiers entre eux]].