Théorème des restes chinois

Théorème des restes chinois

Soient $n$ et $m$ deux entiers supérieurs ou égaux à 1.
Alors, on a l'isomorphisme :
$$\Z/n\Z\times \Z/m\Z\cong \Z/nm\Z$$si et seulement si $n$ et $m$ sont premiers entre eux.

Remarques

• En appliquant récursivement le théorème des restes chinois et en utilisant la décomposition d’un entier en facteurs premiers, on obtient :
  Pour $n \in \mathbb{N},$ que l’on décompose par le théorème fondamental de l’arithmétique :
  $$n=\prod_{i=1}^{r} p _i^{\alpha_i}$$où les $p_i$ sont des nombres premiers deux à deux distincts.
  Alors
  $$\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/p_1^{\alpha_1}\mathbb Z \times \cdots \times \mathbb Z/p_r^{\alpha_r}\mathbb Z.$$

Autrement dit, tout groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z$ se décompose canoniquement comme produit de groupes associés aux puissances premières apparaissant dans la décomposition de $n$.