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##### Énoncé intuitif
Le théorème de Lagrange dit que l'ordre d'un sous-groupe divise celui du groupe, mais sa réciproque est fausse : un diviseur de $|G|$ n'est pas toujours l'ordre d'un sous-groupe. Les théorèmes de Sylow rétablissent une réciproque là où elle fonctionne, c'est-à-dire pour les puissances de nombres premiers, et vont bien au-delà d'un simple énoncé d'existence. Ils affirment que pour chaque premier $p$ divisant $|G|$, le groupe contient un $p$-sous-groupe aussi gros que le permet l'arithmétique, que tous ces sous-groupes maximaux sont conjugués, donc isomorphes et indiscernables du point de vue de $G$, et que leur nombre est soumis à des contraintes numériques très rigides. C'est de là que vient leur efficacité pratique : en croisant les conditions « divise $m$ » et « congru à $1$ modulo $p$ », on force souvent le nombre de $p$-sous-groupes de Sylow à valoir $1$, ce qui produit un sous-groupe distingué et interdit au groupe d'être simple. La lecture conceptuelle est que $G$ se laisse examiner premier par premier : chaque $p$ fournit une « photographie $p$-adique » de $G$, et le troisième théorème dit combien de points de vue distincts cette photographie admet.

##### Énoncé formel
Soit $G$ un groupe fini d'ordre $|G|=p^{n}m$ avec $p$ premier et $p\nmid m$. On appelle *$p$-sous-groupe de Sylow* de $G$ tout sous-groupe d'ordre $p^{n}$, et l'on note $\mathrm{Syl}_p(G)$ leur ensemble et $n_p=|\mathrm{Syl}_p(G)|$.

**Théorème I (existence).** $\mathrm{Syl}_p(G)\neq\varnothing$. Plus précisément, pour tout $k\leqslant n$, $G$ possède un sous-groupe d'ordre $p^{k}$, et tout $p$-sous-groupe de $G$ est contenu dans un $p$-sous-groupe de Sylow.

**Théorème II (conjugaison).** Deux $p$-sous-groupes de Sylow sont conjugués : pour tous $S,T\in\mathrm{Syl}_p(G)$, il existe $g\in G$ tel que $T=gSg^{-1}$. En particulier, l'action de $G$ par conjugaison sur $\mathrm{Syl}_p(G)$ est transitive.

**Théorème III (dénombrement).** Le nombre $n_p$ vérifie
$$n_p\equiv 1 \pmod p,\qquad n_p\mid m,\qquad n_p=\bigl[G:N_G(S)\bigr]\ \text{ pour tout } S\in\mathrm{Syl}_p(G).$$

*Schéma de preuve.* Pour I, on fait agir $G$ par translation sur l'ensemble $X$ des parties de $G$ de cardinal $p^{n}$ ; comme $\binom{p^{n}m}{p^{n}}\not\equiv 0 \pmod p$, une orbite au moins a un cardinal premier à $p$, et le stabilisateur d'un de ses éléments est d'ordre $p^{n}$. Pour II et III, on fixe $S\in\mathrm{Syl}_p(G)$ et l'on fait agir $S$ par conjugaison sur $\mathrm{Syl}_p(G)$ : la formule des classes donne $n_p\equiv |\mathrm{Fix}_S|\pmod p$, et l'on montre que $S$ est l'unique point fixe, d'où $n_p\equiv 1$. La transitivité s'obtient en faisant agir un Sylow $T$ sur l'orbite de $S$ : si $T$ n'y était pas, cette orbite aurait un cardinal divisible par $p$, contredisant $\equiv 1$. Enfin $n_p=[G:N_G(S)]$ divise $|G|$ et est premier à $p$, donc divise $m$. $\square$

##### Remarques
* $n_p=1$ équivaut à ce que l'unique $p$-sous-groupe de Sylow soit distingué, car la conjugaison permute les Sylow. C'est le levier principal des preuves de non-simplicité : on énumère les valeurs de $n_p$ compatibles avec les deux contraintes et l'on cherche à n'en laisser qu'une.
* Le **théorème de Cauchy** (existence d'un élément d'ordre $p$ dès que $p$ divise $|G|$) est un corollaire immédiat du théorème I, mais il s'en démontre aussi indépendamment, par l'action de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sur les $p$-uplets de produit neutre.
* Un $p$-sous-groupe de Sylow $S$ est son propre normalisateur au sens suivant : $N_G(N_G(S))=N_G(S)$. Plus généralement, si $S\leqslant H\leqslant G$ avec $S$ un Sylow, alors $[G:H]\equiv[N_G(S):H\cap N_G(S)]$ modulo des contraintes que précise l'argument de Frattini.
* **Argument de Frattini.** Si $N\trianglelefteq G$ et $S\in\mathrm{Syl}_p(N)$, alors $G=N\,N_G(S)$. C'est une conséquence directe de la conjugaison, très utilisée en théorie des groupes finis.
* La réciproque du théorème de Lagrange reste fausse en dehors des puissances de premiers : Sylow ne donne rien pour un diviseur composite mêlant plusieurs premiers.
* Les théorèmes s'étendent aux groupes profinis (Sylow pro-$p$) et, sous forme affaiblie, à certains groupes infinis localement finis. Pour un groupe infini quelconque, l'énoncé n'a pas de sens tel quel.
* Le **théorème de Hall** généralise Sylow aux groupes *résolubles* : pour toute partie $\pi$ de l'ensemble des premiers divisant $|G|$, il existe un $\pi$-sous-groupe de Hall, et ils sont tous conjugués. La résolubilité est indispensable : $\mathfrak{A}_5$ n'a pas de sous-groupe d'ordre $15$.

##### Exemples
1. Dans $\mathfrak{S}_4$, d'ordre $24=2^{3}\cdot 3$ : $n_2\in\{1,3\}$ et $n_2\equiv 1\ (2)$, et l'on trouve $n_2=3$, les $2$-Sylow étant d'ordre $8$ et isomorphes à $D_4$ ; par ailleurs $n_3=4$, les $3$-Sylow étant les $\langle\sigma\rangle$ pour $\sigma$ un $3$-cycle.
2. Dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$, d'ordre $\prod_{k=0}^{n-1}(p^{n}-p^{k})=p^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^{n}(p^{k}-1)$, le groupe $U_n(\mathbb{F}_p)$ des matrices triangulaires supérieures à diagonale unité est un $p$-sous-groupe de Sylow. Ses conjugués correspondent aux drapeaux complets de $\mathbb{F}_p^{n}$.
3. **Groupes d'ordre $pq$.** Si $p<q$ sont premiers, $n_q\equiv 1\ (q)$ et $n_q\mid p<q$ forcent $n_q=1$ : le $q$-Sylow est distingué et $G$ est produit semi-direct $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Si de plus $p\nmid q-1$, alors $G$ est cyclique. Ainsi tout groupe d'ordre $15$ est cyclique.
4. **Non-simplicité en ordre $30$.** Si $|G|=30=2\cdot3\cdot5$, on a $n_3\in\{1,10\}$ et $n_5\in\{1,6\}$. Si $n_3=10$ et $n_5=6$, on compte $10\cdot 2=20$ éléments d'ordre $3$ et $6\cdot 4=24$ éléments d'ordre $5$, soit $44>30$ : impossible. Donc $n_3=1$ ou $n_5=1$, et $G$ n'est pas simple.
5. **Ordre $60$ et $\mathfrak{A}_5$.** Pour $|G|=60$, on montre par un raisonnement de Sylow que $G$ simple entraîne $n_5=6$, d'où un morphisme injectif $G\hookrightarrow\mathfrak{S}_6$ ; en raffinant, $G\simeq\mathfrak{A}_5$. C'est le plus petit groupe simple non abélien.
6. **Contre-exemple à une réciproque de Lagrange.** $\mathfrak{A}_4$ est d'ordre $12$ mais n'a pas de sous-groupe d'ordre $6$. Sylow donne bien un $2$-Sylow d'ordre $4$ (le groupe de Klein) et des $3$-Sylow d'ordre $3$, mais reste muet sur le diviseur $6$, et pour cause.
7. **Contre-exemple sur la non-conjugaison entre premiers distincts.** Dans $\mathfrak{S}_3$, le $2$-Sylow $\{\mathrm{id},(1\,2)\}$ et le $3$-Sylow $\mathfrak{A}_3$ ne sont évidemment pas conjugués : la conjugaison du théorème II ne vaut qu'à $p$ fixé.
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