Théorèmes de Sylow

En théorie des groupes, le théorème de Lagrange affirme que l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe. La réciproque est fausse en général : un diviseur de $|G|$ n’est pas forcément l’ordre d’un sous-groupe de $G$.

Le théorème de Cauchy fournit néanmoins une première réciproque partielle : si un nombre premier $p$ divise $|G|$, alors $G$ possède un sous-groupe d’ordre $p$.

Le premier théorème de Sylow va plus loin. Si
$$|G|=p^n m,$$où $p$ est premier et $p$ ne divise pas $m$, alors $G$ possède un sous-groupe d’ordre $p^k$ pour tout $k\leqslant n$. Ces sous-groupes sont appelés des $p$-groupes.

Parmi eux, ceux d’ordre $p^n$ jouent un rôle particulier : ce sont les plus grands $p$-sous-groupes que $G$ puisse contenir. On les appelle les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$.

Le deuxième théorème de Sylow affirme alors que tous les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$ sont conjugués entre eux.

Enfin, le troisième théorème de Sylow impose de fortes contraintes sur leur nombre. Si l’on note $n_p$ le nombre de $p$-sous-groupes de Sylow, alors
$$n_p\equiv 1\pmod p \qquad\text{et}\qquad n_p\mid m.$$

Exemples

1. Dans $\mathfrak{S}_4$, d’ordre $24=2^{3}\cdot 3$ : $n_2\in\{1,3\}$ et $n_2\equiv 1\ (2)$, et l’on trouve $n_2=3$, les $2$-Sylow étant d’ordre $8$ et isomorphes à $D_4$ ; par ailleurs $n_3=4$, les $3$-Sylow étant les $\langle\sigma\rangle$ pour $\sigma$ un $3$-cycle.

2. Dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$, d’ordre $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(p^{n}-p^{k})=p^{n(n-1)/2}\prod\limits_{k=1}^{n}(p^{k}-1)$, le groupe $U_n(\mathbb{F}_p)$ des matrices triangulaires supérieures à diagonale unité est un $p$-sous-groupe de Sylow. Ses conjugués correspondent aux drapeaux complets de $\mathbb{F}_p^{n}$.

3. Non-simplicité en ordre $30$. Si $|G|=30=2\cdot3\cdot5$, on a $n_3\in\{1,10\}$ et $n_5\in\{1,6\}$. Si $n_3=10$ et $n_5=6$, on compte $10\cdot 2=20$ éléments d’ordre $3$ et $6\cdot 4=24$ éléments d’ordre $5$, soit $44>30$ : impossible. Donc $n_3=1$ ou $n_5=1$, et $G$ n’est pas simple.

4. Ordre $60$ et $\mathfrak{A}_5$. Pour $|G|=60$, on montre par un raisonnement de Sylow que $G$ simple entraîne $n_5=6$, d’où un morphisme injectif $G\hookrightarrow\mathfrak{S}_6$ ; en raffinant, $G\simeq\mathfrak{A}_5$. C’est le plus petit groupe simple non abélien.

5. Contre-exemple sur la non-conjugaison entre premiers distincts. Dans $\mathfrak{S}_3$, le $2$-Sylow $\{\mathrm{id},(1\,2)\}$ et le $3$-Sylow $\mathfrak{A}_3$ ne sont évidemment pas conjugués : la conjugaison du théorème II ne vaut qu’à $p$ fixé.