Triangle de Pascal
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Revision 2789
8/29/2026, 9:17:16 PM · Ancient Tree
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Revision 2788
8/29/2026, 9:16:54 PM · Ancient Tree
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1
##### Définition intuitive2
3
Le triangle de Pascal est un triangle fait de nombres, dont les bords gauche et droit sont constitués de $1$, et dont chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus de lui.4
4
5
##### Définition formelle6
7
On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, avec la condition $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n-1]\!]$8
$$9
a_{n+1,k+1}=a_{n,k}+a_{n,k+1},10
$$11
qui traduit la définition intuitive plus haut.12
13
On peut aussi exprimer les $a_{n,k}$ en les reliant aux [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] par la relation:14
$$15
a_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}16
$$17
où $p!$ est égal au produit des entiers de $1$ à $p$, c'est la [[factorielle|factorielle]] de $p$.18
19
##### Exemples et Remarques20
$\bullet$ Avec la relation binomiale, on peut vérifier les relations $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ en utilisant $0!=1$. On peut aussi voir qu'on a bien:21
$$22
a_{2,1}=\frac{2!}{1!\,(2-1)!}=\frac{2}{1\cdot1}=223
$$24
ce qui est bien $a_{1,0}+a_{1,1}=1+1$ comme voulu.25
$\bullet$ Combinatoirement, on peut montrer (voir exercice) que le développement du produit $(1+x)\cdots(1+x)$ fait apparaître les $a_{n,k}$. En particulier, on a la relation26
$$27
(1+x)^n=\sum_{k=0}^na_{n,k}\,x^k28
$$29
que l'on appelle **binôme de Newton**.Revision 2787
8/29/2026, 9:16:41 PM · Ancient Tree
Concept reviewed
statusUsableReviewed
Revision 2101
8/23/2026, 8:13:33 AM · Sequoia
Updated text
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1
##### Définition intuitive2
3
Le triangle de Pascal est un triangle fait de nombres, dont les bords gauche et droit sont constitués de $1$, et dont chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus de lui.4
5
##### Définition formelle6
7
On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, ainsi $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n-1]\!]$7
On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, avec la condition $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n-1]\!]$8
$$9
a_{n+1,k+1}=a_{n,k}+a_{n,k+1},10
$$11
qui traduit la définition intuitive plus haut.12
13
On peut aussi exprimer les $a_{n,k}$ en les reliant aux [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] par la relation:14
$$15
a_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}16
$$17
où $p!$ est égal au produit des entiers de $1$ à $p$, c'est la [[factorielle|factorielle]] de $p$.18
19
##### Exemples et Remarques20
$\bullet$ Avec la relation binomiale, on peut vérifier les relations $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ en utilisant $0!=1$. On peut aussi voir qu'on a bien:21
$$22
a_{2,1}=\frac{2!}{1!\,(2-1)!}=\frac{2}{1\cdot1}=223
$$24
ce qui est bien $a_{1,0}+a_{1,1}=1+1$ comme voulu.25
$\bullet$ Combinatoirement, on peut montrer (voir exercice) que le développement du produit $(1+x)\cdots(1+x)$ fait apparaître les $a_{n,k}$. En particulier, on a la relation26
$$27
(1+x)^n=\sum_{k=0}^na_{n,k}\,x^k28
$$29
que l'on appelle **binôme de Newton**.Revision 2100
8/23/2026, 7:58:34 AM · Ancient Tree
Updated aliases
aliasespascals triangleNone
Revision 2099
8/23/2026, 7:58:19 AM · Ancient Tree
Concept marked usable
statusStubUsable
Revision 2098
8/23/2026, 7:58:09 AM · Ancient Tree
Updated text
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1
##### Définition intuitive2
3
Le triangle de Pascal est un triangle fait de nombres dont tous les bords sont égaux à $1$ et donc chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus de lui.3
Le triangle de Pascal est un triangle fait de nombres, dont les bords gauche et droit sont constitués de $1$, et dont chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus de lui.4
4
5
##### Définition formelle6
7
On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, ainsi $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n]\!]$7
On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, ainsi $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n-1]\!]$8
$$9
a_{n+1,k+1}=a_{n,k}+a_{n,k+1},10
$$11
qui traduit la définition intuitive plus haut.12
13
On peut aussi exprimer les $a_{n,k}$ en les reliant aux [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] par la relation:14
$$15
a_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}16
$$17
où $p!$ est égal au produit des entiers de $1$ à $p$, c'est la [[factorielle|factorielle]] de $p$.18
19
##### Exemples et Remarques20
$\bullet$ Avec la relation binomiale, on peut vérifier les relations $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ en utilisant $0!=1$. On peut aussi voir qu'on a bien:21
$$22
a_{2,1}=\frac{2!}{1!\,(2-1)!}=\frac{2}{1\cdot1}=223
$$24
ce qui est bien $a_{1,0}+a_{1,1}=1+1$ comme voulu.25
$\bullet$ Combinatoirement, on peut montrer (voir exercice) que le développement du produit $(1+x)\cdots(1+x)$ fait apparaître les $a_{n,k}$. En particulier, on a la relation26
$$27
(1+x)^n=\sum_{k=0}^na_{n,k}\,x^k28
$$29
que l'on appelle **binôme de Newton**.Revision 2097
8/23/2026, 7:54:18 AM · Sequoia
Updated aliases and linked exercises
aliasesNonepascals triangle
linked exercisesNoneBinôme de Newton, Triangle de Pascal et coefficients binomiaux
Revision 2095
8/23/2026, 7:53:30 AM · Ancient Tree
Updated aliases
aliasespascals triangleNone
Revision 2091
8/23/2026, 7:32:46 AM · Sequoia
Concept created
##### Définition intuitive
Le triangle de Pascal est un triangle fait de nombres dont tous les bords sont égaux à $1$ et donc chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus de lui.
##### Définition formelle
On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, ainsi $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n]\!]$
$$
a_{n+1,k+1}=a_{n,k}+a_{n,k+1},
$$
qui traduit la définition intuitive plus haut.
On peut aussi exprimer les $a_{n,k}$ en les reliant aux [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] par la relation:
$$
a_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}
$$
où $p!$ est égal au produit des entiers de $1$ à $p$, c'est la [[factorielle|factorielle]] de $p$.
##### Exemples et Remarques
$\bullet$ Avec la relation binomiale, on peut vérifier les relations $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ en utilisant $0!=1$. On peut aussi voir qu'on a bien:
$$
a_{2,1}=\frac{2!}{1!\,(2-1)!}=\frac{2}{1\cdot1}=2
$$
ce qui est bien $a_{1,0}+a_{1,1}=1+1$ comme voulu.
$\bullet$ Combinatoirement, on peut montrer (voir exercice) que le développement du produit $(1+x)\cdots(1+x)$ fait apparaître les $a_{n,k}$. En particulier, on a la relation
$$
(1+x)^n=\sum_{k=0}^na_{n,k}\,x^k
$$
que l'on appelle **binôme de Newton**.