Triangle de Pascal

Définition intuitive

Le triangle de Pascal est un triangle fait de nombres, dont les bords gauche et droit sont constitués de $1$, et dont chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au-dessus de lui.

Définition formelle

On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à la $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, avec la condition $0\leqslant k\leqslant n$. On a par définition $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$ et la relation de récurrence pour tout $n\in\N,k\in[\![0,n-1]\!]$
$$a_{n+1,k+1}=a_{n,k}+a_{n,k+1},$$qui traduit la définition intuitive plus haut.

On peut aussi exprimer les $a_{n,k}$ en les reliant aux coefficients binomiaux par la relation:
$$a_{n,k}=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$où $p!$ est égal au produit des entiers de $1$ à $p$, c’est la factorielle de $p$.

Exemples et Remarques

$\bullet$ Avec la relation binomiale, on peut vérifier les relations $a_{n,0}=a_{n,n}=1$ en utilisant $0!=1$. On peut aussi voir qu’on a bien:
$$a_{2,1}=\frac{2!}{1!\,(2-1)!}=\frac{2}{1\cdot1}=2$$ce qui est bien $a_{1,0}+a_{1,1}=1+1$ comme voulu.
$\bullet$ Combinatoirement, on peut montrer (voir exercice) que le développement du produit $(1+x)\cdots(1+x)$ fait apparaître les $a_{n,k}$. En particulier, on a la relation
$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^na_{n,k}\,x^k$$que l’on appelle binôme de Newton.