Triangle de Pascal et coefficients binomiaux

On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à sa $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, où $0\leqslant k\leqslant n$.
On cherche ici à montrer que
$$\forall n,k\in\N/\,0\leqslant k\leqslant n, a_{n,k}=\binom{n}{k}.$$Pour cela, on définit $b_{n,k}:=\binom{n}{k}$ dont on rappelle que ce coefficient binomial est défini comme $b_{n,k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$. On rappelle d’ailleurs la convention $0!=1$.

1. Montrer que $b_{n,0}=b_{n,n}=1$ pour tout $n\in\N$.
2. Montrer la relation $b_{n+1,k+1}=b_{n,k+1}+b_{n,k}$ à partir des factorielles, pour tout $0\leqslant k\leqslant n$.
3. Conclure