Binôme de Newton

On note $a_{n,k}$ le coefficient du triangle de Pascal à sa $n$-ème ligne et $k$-ème colonne, où $0\leqslant k\leqslant n$.
On cherche dans cet exercice à montrer que
$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n a_{n,k}\,x^k$$

1. Justifier qu’il existe une suite $(b_{n,k})_{n,k}$ telle que $(1+x)^n=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k$. Montrer alors que $b_{n,0}=b_{n,n}=1$.
2. Calculer $(1+x)(1+x)^n$ de deux manières différentes. En identifiant les coefficients devant $x^{k+1}$, $k\in[\![0,n]\!]$, montrer la relation
   $$b_{n+1,k+1}=b_{n,k+1}+b_{n,k}.$$3) Conclure que $b_{n,k}=a_{n,k}$ pour tout $n,k$.

On écrit aussi souvent cette formule du binôme de Newton sous la forme
$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^ky^{n-k}$$où on a simplement utilisé la formule connue pour $a_{n,k}$ ainsi qu’un ajout d’une autre variable.

4. Application: Calculer $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}$ ainsi que $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k$ pour tout $n\in\N^*$.
   Ces formules sont-elles encore valables pour $n=0$ ? On rappelle pour cela la convention $a^0=1$ pour tout $a\in\R$.
   On vient alors de calculer la somme et la somme alternée des coefficients du triangle de Pascal sur une ligne.