Tribu produit
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Revision 4800
9/13/2026, 12:17:53 PM · Ancient Tree
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##### Définition intuitive2
3
Supposons qu'on ait défini quelles parties de $X$ de $Y$ étaient [[Partie mesurable|mesurables]], grâce à des [[tribu|tribus]] $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.3
Supposons qu'on ait défini quelles parties de $X$ et de $Y$ étaient [[Partie mesurable|mesurables]], grâce aux [[tribu|tribus]] $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.4
Sur le [[produit-cartesien|produit cartésien]] $X\times Y$, les ensembles les plus naturels à déclarer mesurables sont les rectangles5
$$A\times B$$6
où $A\in \mathcal{A}$ et $B\in \mathcal{B}$.7
8
On pourrait espérer que l'ensemble de tous ces rectangles forme déjà une tribu, mais ce n'est généralement pas le cas. Par exemple, le complémentaire d'un rectangle est rarement un rectangle.9
10
On prend donc la plus petite tribu contenant tous les rectangles mesurables. C'est la tribu produit.11
12
##### Définition formelle13
14
Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ deux [[tribu|tribus]] sur des ensembles $X$ et $Y$.15
La tribu produit $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$ est la tribu du [[produit-cartesien|produit cartésien]] $X\times Y$ [[tribu engendrée|engendrée]] par les rectangles :15
La tribu produit $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$ est la tribu sur [[produit-cartesien|produit cartésien]] $X\times Y$ [[tribu engendrée|engendrée]] par les rectangles :16
$$17
\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}=\sigma \{A \times B \mid A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\}.$$Revision 4799
9/13/2026, 12:13:13 PM · Ancient Tree
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##### Définition intuitive2
3
Supposons qu'on ait défini quelles parties de $X$ de $Y$ étaient [[Partie mesurable|mesurables]], grâce aux [[tribu|tribus]] $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.3
Supposons qu'on ait défini quelles parties de $X$ de $Y$ étaient [[Partie mesurable|mesurables]], grâce à des [[tribu|tribus]] $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.4
Sur le produit cartésien $X\times Y$, les ensembles les plus naturels à déclarer mesurables sont les rectangles4
Sur le [[produit-cartesien|produit cartésien]] $X\times Y$, les ensembles les plus naturels à déclarer mesurables sont les rectangles5
$$A\times B$$6
où $A\in \mathcal{A}$ et $B\in \mathcal{B}$.7
8
On pourrait espérer que l'ensemble de tous ces rectangles forme déjà une tribu, mais ce n'est généralement pas le cas. Par exemple, le complémentaire d'un rectangle est rarement un rectangle.9
10
On prend donc la plus petite tribu contenant tous les rectangles mesurables. C'est la tribu produit.11
12
##### Définition formelle13
14
Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ deux [[tribu|tribus]] sur des ensembles $X$ et $Y$.15
La tribu produit $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$ est la tribu du [[produit-cartesien|produit cartésien]] $X\times Y$ [[tribu engendrée|engendrée]] par les rectangles :16
$$17
\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}=\sigma \{A \times B \mid A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\}.$$Revision 4798
9/13/2026, 12:12:39 PM · Ancient Tree
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##### Définition intuitive
Supposons qu'on ait défini quelles parties de $X$ de $Y$ étaient [[Partie mesurable|mesurables]], grâce aux [[tribu|tribus]] $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.
Sur le produit cartésien $X\times Y$, les ensembles les plus naturels à déclarer mesurables sont les rectangles
$$A\times B$$
où $A\in \mathcal{A}$ et $B\in \mathcal{B}$.
On pourrait espérer que l'ensemble de tous ces rectangles forme déjà une tribu, mais ce n'est généralement pas le cas. Par exemple, le complémentaire d'un rectangle est rarement un rectangle.
On prend donc la plus petite tribu contenant tous les rectangles mesurables. C'est la tribu produit.
##### Définition formelle
Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ deux [[tribu|tribus]] sur des ensembles $X$ et $Y$.
La tribu produit $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$ est la tribu du [[produit-cartesien|produit cartésien]] $X\times Y$ [[tribu engendrée|engendrée]] par les rectangles :
$$
\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}=\sigma \{A \times B \mid A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\}.$$