Tribu produit

Définition intuitive

Supposons qu’on ait défini quelles parties de $X$ et de $Y$ étaient mesurables, grâce aux tribus $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$.
Sur le produit cartésien $X\times Y$, les ensembles les plus naturels à déclarer mesurables sont les rectangles
$$A\times B$$où $A\in \mathcal{A}$ et $B\in \mathcal{B}$.

On pourrait espérer que l’ensemble de tous ces rectangles forme déjà une tribu, mais ce n’est généralement pas le cas. Par exemple, le complémentaire d’un rectangle est rarement un rectangle.

On prend donc la plus petite tribu contenant tous les rectangles mesurables. C’est la tribu produit.

Définition formelle

Soient $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ deux tribus sur des ensembles $X$ et $Y$.
La tribu produit $\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}$ est la tribu sur produit cartésien $X\times Y$ engendrée par les rectangles :
$$\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}=\sigma \{A \times B \mid A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}\}.$$